Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
где с2 - вторая постоянная интегрирования.
Этим завершается наш вывод. Вернувшись к исходному выражению для
интервала (148.14), включим постоянную 1/с| в множитель e8<i) и
обозначим, как обычно,
тл9)
где R о - постоянная, которая может быть положительной, отрицательной или
бесконечной. В результате получаем окончательное выражение:
РеО)
ds2 = - ---------5-, (dr2 -f r2dQ2 -f- г2 sin2 0 d(p2) + dt2, (148.20)
[l + r44R2\2 '
где g(t) - все еще неопределенная функция времени t.
Мы привели такой длинный вывод, так как нам хотелось показать с помощью
цепочки рассуждений, каждое звено которой имеет ясный физический смысл,
что предположение о крупномасштабной пространственной изотропии
Вселенной, которую обнаруживает наблюдатель, находящийся в покое
относительно своей окрестности, вместе с принципами релятивистской
механики приводят с необходимостью к указанному выражению для интервала.
Поэтому, если мы в дальнейшем разочаруемся по каким-либо причинам,
философским или наблюдательным, в результатах, полученных в
рассматриваемой модели, то нам при"
§ 149. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕРВАЛА 377
дется либо видоизменить принципы релятивистской механики, либо отказаться
от мысли, что все наблюдатели во Вселенной увидят все явления в больших
масштабах не зависящими от направления.
§ 149. Общие свойства интервала
а) Некоторые формулы для интервала. Выражение для интервала ds2 в
нестатической модели
""(О
dsi = 2Тг(^2 + rW-f r2sin20dtp2) + dt2 (149.1)
+ r IiHo\
можно видоизменить путем преобразования координат. Это бывает удобно либо
для приложений, либо для лучшего понимания внутренней геометрии модели.
С помощью очевидной подстановки
x=rsin9coscp, у-г sin 9 sin ф, z=cos0 (149.2)
получаем
.gU)
ds2 = ~ г, ¦ В212 (dx2 + dy2 + dz2) + dt2> ( 149.31
[[+r\4R2\2
где ___________
г = Ух2 -j-у2 + z2.
Это выражение наиболее убедительно показывает, что модель в каждой точке
пространственно изотропна.
После подстановки
г=- г--я- (149.4)
1 + r*l4R2 К '
интервал ds2 принимает вид
ds2 = - ee(t) ^ + r2d§2 + г2 sin2 G dtp2 j -f dt2. (149.5)
Это выражение интересно сравнить с одним из известных выражений для
статического эйнштейновского интервала*). Подстановка
r=/?0sinx (149.6)
позволяет получить еще одно выражение: ds2 = - (dy2 4 sin2 ydQ2 +
sin2 % sin2 0^ф2) -j- dt2. (149.7)
*) При сравнении преобразования (149.4) с преобразованием (138.2),
Рассмотренным в связи с эйнштейновской моделью, следует отметить, что г и
г в (149.4) аналогичны соответственно р и г в (138.2).
378 i'л. x. космология
Наконец, переходя к большему числу измерений с помощью обозначений
zi - У 1 - r'IRl z2 = r sin 0 cos с;,
г3 = г sin 0 sin ф, 24 = rcos0, (149.8)
где
21 "Г 22 + 2з -j- Z4 - /?о, (149.9)
получаем следующий результат:
ds2 = - eg{t) (dzl + dzl + dzl + dz$) + dt2, (149,10)
который позволяет в каждый данный момент рассматривать нашу модель как
поверхность, погруженную в евклидово пространство большего числа
измерений.
б) Внутренняя геометрия модели. Как и в случае статической
эйнштейновской Вселенной, тип геометрии еще не определяется видом
интервала, так как еще можно делать различные предположения о связности и
об идентификации точек.
Однако, судя по последнему выражению, проще всего пространственную часть
нестатической Вселенной рассматривать в каждый данный момент t как полную
трехмерную сферу, погруженную в четырехмерное евклидово пространство (zu
z%, Z3, Z4) п определяемую с помощью уравнения
zf + z\ -f- Z3 -f- zf = Rq. (149.11)
Так как согласно (149.10) координатному расстоянию dz\ в момент t
соответствует собственное расстояние
dl0 - dzlt (149.12)
а для других пространственных координат расстояние записывается
аналогично, то радиус сферической поверхности должен быть, очевидно,
равен
R - R0e '/3Sit) (149.13)
Эту величину часто называют радиусом нестатической Вселенной, а о
геометрии этой Вселенной говорят как о геометрии четырехмерной сферы с
радиусом, зависящим от времени. Следует, однако, отметить, что радиус
i?0, согласно определению (148.19), может быть в равной мере
действительным, мнимым и бесконечным.
Если предположить, что радиус действителен, то полный собственный
пространственный объем модели в некоторый
§ 149. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕРВАЛА
379
выбранный момент, согласно (149.7), равен 2я я я
%sin0d%d0dcp =* 2n2Rae3lieit), (149.14) а полная собственная кругосветная
длина Вселенной равна
l0 = 2nR0e'i*v>. (149.15)
В случае, когда пространственная геометрия является эллиптической, а не
сферической, полученные величины должны быть в два раза меньше.
Если радиус Ro бесконечен или есть мнимая величина, модель является
пространственно открытой, а не закрытой. Собственный объем в этом случае
удобнее записать, исходя из выражения для интервала ds2 (149.5):
2л л оо
v* " И ? sin 9 d?dQ dcp = 00•
ooo V 1 + г2/Л2
где A2 - положительная постоянная, которая может принимать и бесконечное
значение. Верхний предел интеграла по г должен быть тоже взят
