Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
II
Вначале мы резюмируем результаты теории представлений пространственных групп. Зейтц [10] показал, что все пространственные группы разрешимы, и их представления можно получить в соответствии с общей теорией [10, 13]. Вначале Зейти рассматривает инвариантную подгруппу, образованную трансляциями. Поскольку трансляции коммутируют между собой, можно принять, что они представляются диагональными матрицами. Это означает, что мы будем рассматривать такие линейные комбинации волновых функций грц (р, = 1, 2, ..., п, где п — размерность представления), которые просто умножаются на постоянные числа («множители») со,^, со^, соцз при смещении на три основных периода. Другими словами, матрица, соответствующая смещению на первый основной период, диагональна, и ее диагональные элементы равны сои, (Огь Wn і; аналогичный вид имеют матрицы, описывающие другие смещения. Поскольку все матрицы должны быть унитарны, то |cowi|.= |о)д2і = = |соцз! = 1. Положим
(D141 = Vi),
0ц2= V2+Va+V2), (2)
CO^13 = е* (V3+Va+V3),
где хи Уи Zu *2, .(/2, ^2, *з, y3f Z3 суть, соответственно, х-, у-, г-ком-поненты первого, второго и третьего основных периодов. Век: тор k называется «приведенным волновым вектором»*). Разумеется, для различных волновых функций -фь \|?2, .. •,
*) См. [14], гл. 3, а также [15]. Для простой кубической решетки X1^y2=* e23=rf, Уі —Z1 = х2=Z2--= X3=U3=O. Для гранецентрированной решетки f/i=^ = =Х2—Z2=Xz^y3=d/2, X1=U2=Z3=O и т. д.
J 90
Л. П. БАУКАРТ, Р. СМОЛУХОВСКИЙ. Е. ВИГНЕР
векторы к будут, вообще говоря, различными. Следует помнить, однако, что приведенный волновой вектор к определяется соотношениями (2) только с точностью до вектора обратной решетки г, умноженного на любое целое число, т. е., не изменяя множителей (2), к вектору к всегда можно добавить вектор г, для которого
Получающееся пространство волновых векторов к периодично с периодами г, определяемыми соотношениями (2а); два волновых вектора, отличающиеся на вектор г, считаются тождественными. Если пространственная группа не содержит плоскостей скольжения и винтовых осей *), то к рассмотренным выше трансляциям нужно добавить только повороты и отражения. Если преобразование такого типа применить к функции ^1x, то она перейдет в другую волновую функцию, скажем грь, волновой вектор которой получается из волнового вектора функции фц с помощью рассматриваемого поворота или отражения. Таким образом, все приведенные волновые векторы волновых функций, принадлежащих одному представлению, получаются друг из друга под действием чистых поворотов или отражений данной группы, т. е. под действием элементов кристаллического класса.
Если приведенный волновой вектор одной из волновых функций typ, преобразуется под действием всех элементов класса в векторы, не совпадающие между собой, то это будет справедливо для каждого из волновых векторов и число волновых функций -фь \|)n будет совпадать с числом элементов класса. Матрицы представления, соответствующие поворотам и отражениям, будут просто менять местами различные \(v Если же имеются элементы симметрии, оставляющие волновой вектор неизменным, то они образуют группу, которую мы будем называть группой волнового вектора. Так, например, если волновой вектор направлен вдоль оси х, его группа будет содержать все повороты вокруг оси X и все отражения в плоскостях, проходящих через ОСЬ X.
Волновая функция фц с волновым вектором k либо не изменяется под действием преобразований группы волнового вектора, либо переходит в новую волновую функцию с тем же самым
*) Тем самым мы полагаем, что каждый элемент симметрии можно рассматривать как произведение двух элементов симметрии, одним из которых служит чистая трансляция, а другим — чистый поворот или отражение. Это предположение справедливо для наиболее важных пространственных групп.
TxXX + ГуУ\ + rzzx
rxx2 + rvy2 + rzz2
ГхЧ + ГуУ3 + rz23
2лп{, 2ппъ 2лп3.
(2а)
ТЕОРИЯ ЗОН БРИЛЛЮЭНА
191
волновым вектором ft. В первом случае существует только одна волновая функция с волновым вектором ft. Во втором случае имеется несколько волновых функций с волновым вектором ft; они преобразуются под действием элементов группы волнового вектора по неприводимому представлению группы ft, которое мы назовем малым представлением. Таковы основные результаты Зейтца.
Итак, представления пространственных групп должны характеризоваться двумя символами. Первый определяет приведенные волновые векторы (или набор чисел со), встречающиеся в данном представлении; все эти волновые векторы образуют
а) б) ?)
Рис. 1.
«звезду», отражающую полную симметрию решетки относительно поворотов и отражений. На рис. 1 приведены три такие звезды для двумерной квадратной решетки. Второй символ характеризует малое представление, т. е. одно из неприводимых представлений группы волнового вектора (группы всех волновых векторов звезды изоморфны). Для волновых векторов, расположенных в общей точке ft-пространства (рис. 1,а), группа волнового вектора содержит только единичный элемент. В этом случае второй символ можно опустить. Следует еще раз подчеркнуть, что два волновых вектора нужно считать тождественными, если совпадают соответствующие наборы чисел со. Так, например, если каждое из трех чисел кхх{ + kyy{ + kzz{ кратно я (не обязательно 2л), то волновые векторы {kXykyykz} и {—кх, —ky, — k2) тождественны и инверсия (л: -* —ху у -> — уу z—>—z) всегда входит в группу волнового вектора*).
