Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
группами перестановок S (п) и унитарными
') Существует и различие. Атомы, обладающие п электронами, состоят из (п
+ В частиц. При этом, как мы уже видели, легко исключить движение центра
масс. Для этого за начало координат выбирают ядро, а все электроны
рассматривают относительно него на равных основаниях. Метод исключения
движения центра масс в ядерной физике более сложен.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ 69
группами U (k), которые упоминались в разд. 1.4 и использовались в разд.
2.9.
Ненаблюдаемые
состояния
С а N,s 015 F'
i =¦в 7 8 9.
№9 8 7 в
Фиг. 3.2. Спектр состояний изобар с А = 15.
Состояния С15 имеют изоспин >3/2. Для другого условного обозначения ядра
используется химический символ соответствующего атома (это дает просто
число Z) с числом нуклонов A=Z + N в качестве индекса в правом верхнем
углу.
Ядерное взаимодействие не делает различия между протонами и нейтронами.
Для ядра отсюда следует свойство инвариантности относительно перестановки
[eS(-4)] его нуклонов. Это свойство можно интерпретировать следующим
образом:
70
Л. МИШЕЛЬ
все наблюдаемые О ядерной физики, действующие в пространстве
(пространство одночастичных состояний нуклона),
из уравнения (3.3) выражаются в форме уравнения (3.7), где
т. е. они соответствуют тривиальному действию в пространстве Ж х,
являющемся множит'елем в этом тензорном произведении и соответствующем
гейзенберговой пятой степени свободы системы "протон - нейтрон".
Действие группы U (2) на Ж(Х), определенное уравнением (3.8), коммутирует
с каждой наблюдаемой: U (2) с= {О}' - комму-
тант алгебры "одночастичных наблюдаемых". Действие этой группы U (2)
можно распространить на любое гильбертово пространство состояний А частиц
Ж(А) (А^О), Следовательно, когда в ядерной физике пренебрегают неядерными
взаимодействиями, эта группа U (2) является подгруппой группы
инвариантности. Пространство Ж(А) имеет одно и то же разложение на
пространства факториальных представлений как для 5 (А), так и для U (2).
Поэтому для соответствующих представлений мы используем одни и те же
обозначения (схемы Юнга).
Поскольку кулоновским отталкиванием протонов можно пренебречь только для
легких ядер, то ожидалось, что сохранение изоспина окажется неинтересным
для более тяжелых ядер. Однако прогресс ядерной физики за последние пять
лет показал, что для ядер с А ^100 понятие изоспина действительно
является полезным. Обзор по этому вопросу, не содержащий технических
деталей, дан в статье Кокера и Мура [64].
3.3. ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРУППЫ U(4)
В 1936 г. Вигнер [65] изучил приближение, в котором пренебрегают не
только изоспиновой, но также и спиновой зависимостью ядерных сил. В этом
случае уравнения (3.7) и (3.8) можно заменить на
В этом приближении теория ядра инвариантна также относительно группы U
(4), действующей, в четырехмерном простран-
Ж{Х) = ?2{х, Ц(r)Жа(r)Жх, U (2) = I(r) U (2),
(3.2)
(3*7)
(3.8)
Ж{Х) = ?2(х, Ц(r)Ж"(r)Жх, 0 = Ж(r)1(r)1, и (4) = /(r) U (4).
(3.2)
(3.9)
(3.10)
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ
71
стве Ж = Ха<8>Жх. Уравнение (3.3) для гильбертова пространства состояний
А нуклонов можно тогда переписать в виде
ж(А)=афц=PuA)(r)K(&m(r)xmc), (3.11)
где схема Юнга [Я] задает представление группы U (4).
Для наиболее стабильных состояний то свойство, что "остаточные"
двухчастичные силы являются силами притяжения (использованное в разд.
3.2), предполагает, что состояние [Я] как можно более симметрично, а [Я]с
соответственно антисимметрично, т. е. его схема Юнга имеет четыре строки
почти одинаковой длины:
Я] Я2 Я3 Я4 0 (с Я| -[- Я2 -f- Я3 -f- Я4 = ^4).
Для случая когда Л/4 есть целое число, это означает Я4 = Я2 = = Я3 = Я4 =
Л/4. Это НП группы U(4) имеет размерность 1. Ограничение этого
представления группы U (4) (действующего в пространстве Жа<8>Хт) на
подгруппу SU (2) X SU (2) приводит к нулевому спину и нулевому изоспину
для основного состояния. Как мы уже видели, равенство нулю спина
справедливо для всех таких ядер, а равенство нулю изоспина-только для
легких ядер (Z < 17), у которых кулоновское отталкивание протонов не
слишком велико. Для ядер с Л = 4л + 2 представление [Я]с для самых нижних
состояний есть %х - 1=Я2- 1 =
/4\
= Я3 = Я4 = л. Оно имеет размерность I 1 = 6. Его ограничение на
подгруппу SU (2) X SU (2) разлагается непосредственно на сумму двух
трехмерных представлений: одно со спином 1 и изоспином 0 и одно со спином
0 и изоспином 1. Этот способ дает правильные значения спина самого
нижнего состояния Li6 (спин 1), Не6 и Be6 (спин 0) (фиг. 3.3). Эти два
последних уровня вместе с третьим уровнем Li6 (спин 0+) образуют изо-
спиновый триплет. Остальные уровни, спины которых отмечены на фиг. 3.3,
относятся к другому эквивалентному представлению U (4) с орбитальным
моментом количества движения 1 = 2. Таким образом полный момент
количества движения может равняться j=l = 2 дл,я состояний со спином 0 и
изоспином 1 и I - s^/'<X + s, т. е. j = 3, 2, 1 для состояний со спином 1
