Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
и изоспином 0. Такие состояния Li6 не имеют соответствующих состояний в
Не6 и Be6.
Состояния, принадлежащие НП группы U (4), называются в физической
лцтературе супермультиплетами. Инвариантность
Л. МИШЕЛЬ
относительно преобразований Галилея в теории супермульти-плетов
исследуется совершенно так же, как это делалось в разд. 2.9 для атомной
физики.
Следует рассмотреть накрытие G группы Галилея G, G -->¦ G и гомоморфизм
G SU (2) X 1 с U (2) X U (2) с U (4).
Группа инвариантности теории есть прямое произведение GXU (4), a G есть
подгруппа G GXU (4) с i (g) =(я (g), <j> (g.)).
_o_+__________
/+
г+
o+
5 МэВ
He IIе Be9
Z = 2 ЛГ = 4 Z = 3 N=3 Z = 4 N-Z
Фиг. 3.3. Спектр уровней ядер с шестью нукло* нами.
Приближение независимости ядерных сил от спина и изоспина, приводящее к
инвариантности относительно группы U (4), является грубым, и нельзя было
ожидать, что оно окажется полезным для ядер, у которых число нуклонов А
не очень мало. Однако благодаря тому, что сохранение изоспина является
хорошим приближением, инвариантность относительно /7(4) можно с пользой
применять к ядрам с А ^100, что следует из изучения статистического
распределения энергий их основных состояний [66].
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ
73
• ?
Enjl Е0 Z или N
126
3.4. ОБОЛОЧЕЧНАЯ МОДЕЛЬ
В разд. 3.1 мы видели, что ядра с Z или Ы = 8, 20, 50, 82 и 126
оказываются более стабильными. Многие свойства ядер (например, энергия
связи, приходящаяся на один л
нуклон, магнитный и квадрупольный моменты) д
для этих чисел являются - -------
выделенными. Изучение ядерных таблиц показывает, что для ядер с нечетным
А четность и спин 5
основного состояния ме-няются регулярным способом, который очень сильно
напоминает заполнение оболочек (как в 4
атомной физике). Основ-ное состояние, спин j и четность (±) зависят
только от величины нечетного числа Z или N. Таким об- з
разом, порядок располо-жения уровней с увеличением энергии остается одним
и тем же как для протонов, так и для ней- г
тронов. Этот же порядок можно получить и несколько модифицируя спектр
трехмерного гармонического осциллятора /
Еп = пНа + Е0 (где со постоянна).
. 0
г
4 /
6 У
ч >
1
3
5 ?
0
2 ?
4 S
4 ?
Ч S
1
3
0
г
/
82
50
28
20
: 11/г*
¦ д/г+
¦ ;/2" . . Т/2~
3/2+ /7/2-1/2+ U/Z
г/г+
5/г+
¦ д/г+ 5/г-• 3/2-
F/2-
3/2+ 1/2+
5/2+
1/2-
3/2-
1/2-
Ф и г. 3.4. Спектр энергий гамильтониана, соответствующего уравнению
(3.12) для одного нуклона.
О ю'=0
1/2+
Рассмотрим множество из девяти операторов Г,у==Р,-Ру + + Q,Qy. Здесь Pt и
Qy (/= 1, 2, 3) удовлетворяют каноническим перестановочным соотношениям
[Pt, Q/] = -
¦ ihbi
74
л. МИШЕЛЬ
Использование этих соотношений для вычисления коммутаторов [Тц, Tt'j']
показывает, что величины Ti} образуют представление (с точностью до
множителя ih) алгебры Ли группы U (3).
Центр этой алгебры
Н = Sp Тц = Гц + Т22 + т33
есть гамильтониан гармонического осциллятора (в соответствующих
единицах). Из условия [Н, Ttj] = 0 следует, что инвариантность
относительно группы U (3) для трехмерного гармонического осциллятора
аналогична инвариантности относительно группы SO (4) для атома водорода
(см. разд. 2.4). Спектр оператора Н можно найти аналогичным способом.
Основное состояние п = 0 имеет энергию Е0. Число состояний с энергией Еп
равно */г (п +1) (я + 2). Их орбитальный момент количества движения /
удовлетворяет соотношению (-l)z = (-1)га, 0^/^л. Это соответствует
первому столбцу
фиг. 3.4. Второй столбец дает спектр гамильтониана
H~lHl = aH - co'L2 - 2co"L • S, (3.12)
имеющего положительные константы ю, <в', со", и > и' и в > а". Используя
уравнение (2.55) для s = l/2, при / > 0, j = l + el/2, е=± 1, получаем
энергетический спектр
/ > 0, Еп, у, i - Е0, ./"о = па - а'1(1 + 1) - ем"(/ + -?-). (3.13)
e = sign (j - l),
1 = 0, En,j,i - Eo,y1,o = na. (3.13а)
Гамильтониан Н' - это гамильтониан одного нуклона в среднем потенциале,
создаваемом всем ядром. Как и в разд. 2.7, мы можем теперь
последовательно "заполнять" оболочки для протонов и нейтронов. Такая
оболочечная модель ядра была предложена в 1949 г. Гепперт-Майер и
Иенсеном [67]. Она весьма успешно объясняет свойства низколежащих уровней
ядер и их распады.
Подробнее о строении ядерных оболочек рассказывает книга де Шалита и
Тальми [68].
Отметим, что состояние Z (или N) частиц описывается антисимметричным
тензором, имеющим меньшую степень разложимости, чем в случае атомов (см.
разд. 2.8). Смешивание конфигураций здесь еще более ярко выражено, т. е.
состояния ядер описываются тензорами, которые являются линейными
ч
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ 76
комбинациями различных разложимых тензоров с одинаковыми квантовыми
числами.
Расчеты в оболочечной модели требуют классификации состояний внутри
"одной и той же оболочки". Такие расчеты были проделаны в период с 1942
по 1949 г. Рака, который ввел квантовое число "синьорити" [69].
Часть проблемы заключается в том, чтобы однозначно охарактеризовать те НП
