Введение в теорию устойчивости движения - Меркин Д.Р.
Скачать (прямая ссылка):
дискриминант уравнения (6.117) были положительны:
С1 + сг > о, схс2 + р2 > 0, (сг + с2)2 - 4 (cjC2 + р2) > 0.
Преобразуя последнее неравенство, приведем условие устойчивости к виду
+ с2 > 0, схс2 > - р2, | сх - с2 | > 2 | р |. (6.118)
При р = 0, т. е. при отсутствии неконсервативных позиционных сил, эти
условия дают с± >0, с2 > 0, что непосредственно следует и из уравнений
(6.116). На плоскости параметров сх и с2 область устойчивости
потенциальной системы (6.116) заполняет весь первый квадрант (рис.
6.6,а). При р Ф 0 область устойчивости показана на рис. 6.6, б. Границами
этой области служат прямая .1 (сх + с2 = 0), ветви гиперболы схс2 = - р2
и прямые 2 и 3 (сх - с2 = + 2р), касающиеся гипербол в их вершинах. Из
рисунка видно, что значительная часть области
7*
196
ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ сил
устойчивости потенциальной системы (6.116), занимающая весь первый
квадрант (рис. 6,6, а), при добавлении неконсервативных позиционных сил
переходит в область неустойчивости (коридор между заштрихованными
областями рис. 6.6, б). Одновременно видно, что небольшие части области
устойчивости рассматриваемой системы
(6.115) расположены во втором и четвертом квадрантах,
где одна потенциальная система (6.116) неустойчива. Таким образом,
неконсервативные позиционные силы могут разрушить устойчивость
потенциальной системы, но в некоторых случаях они стабилизируют ее.
На рассмотренном примере (6.115) покажем, как могут влиять диссипативные
силы на устойчивость движения системы с потенциальными и
неконсервативными позиционными силами. Для этого присоединим к системе
(6.115) силы -Ъх± и -Ъ2у, где Ъх и Ъ2 положительны. Тогда получим
х + Ъх± + слх - ру = О,
У + Ь2у + с2у + рх = 0.
Составим характеристическое уравнение:
+ Ьхк + С! ¦- р п
р № -j- b%% -|- с2 7
или, раскрывая определитель,
X4 + {Ьх + Ь2)К3 -j- {сх -j- с2 + bxb2)X2 Д- (схЬ2 -{- с2Ъ^)Х -Н
+ схс2 + р2 = 0.
Напишем для этого уравнения критерий Гурвица (4.32): Ъх + Ь2 > 0, сх + с2
+ ЪХЪ2 > 0, с1Ь2-+ с2Ъх > 0,
С\С2. + Р2 > 0, (6.120)
S 6.8. ВЛИЯНИЕ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СИЛ
197
дз = + Ъ2){су + с2 + ЪуЪ2){суЪ2 + c2by) -
- {суЪг + с2Ъу)2 - {Ьг + Ъ2)2{суС2 + р2) > О,
Преобразуем последнее неравенство:
Д3 = bybz {by + Ъ2){схЪ2 + c2by) + byb2 (c2 - Cy)2 -
-{by + b2)2p2 > 0. (6.121)
Покажем прежде всего, что диссипативные силы могут при некоторых условиях
стабилизировать неустойчивую систему (6.115). Действительно, при сг = с2
= с > 0 критерий Гурвица примет вид
by + Ъ2 >> 0, 2с + ЪуЪ2 > 0, с {by + Ъ2) >0, с2 + р2 > 0, дз = (&1 +
Ъ2)2{ЪуЪ2с - р2) > 0.
Первые четыре условия выполняются автоматически (по предположению, с > 0,
by > О, Ъ2 > 0), а последнее неравенство будет выполнено, если подчинить
диссипативные силы условию
bib2 > -? . (6.122)
Таким образом, неустойчивую систему, находящуюся под действием
потенциальных и неконсервативных позиционных сил, можно стабилизировать
диссипативными силами (при Су = с2, р Ф 0 и by = b2 = 0 система (6.115)
неустойчива - см. рис. 6.6, б).
Покажем теперь, что диссипативные силы могут разрушить устойчивость
системы, находящейся под действием потенциальных и неконсервативных сил.
Действительно, пусть выполнены условия (6.118). Тогда система
(6.115) будет устойчива. Присоединим к этой системе диссипативные
силы, положив Ъ2 = 0, и by = b > 0. Тогда условие (6.121)
Д3 = -Ь2р2 < 0
принимает противоположный смысл, что свидетельствует о неустойчивости
движения (см. примечание к условиям Гурвица (4.32)).
Из рассмотренного примера (6.115) с двумя степенями свободы видно, что
при равенстве коэффициентов устойчивости Су и с2 добавление любых
неконсервативных позиционных сил ру и - рх разрушает устойчивость
потенциальной системы. Покажем, что это свойство справед-
198
ГЛ. VI. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ,сил
ливо для системы с любым числом степеней свободы. Для этого рассмотрим
устойчивую потенциальную систему с равными коэффициентами устойчивости
ci = с2 = ¦ ¦ ¦ = cs = с.
Напомним, что для устойчивой потенциальной системы коэффициенты
устойчивости равны квадратам частот собственных колебаний.
Теорема 3. Если в устойчивую потенциальную систему с равными собственными
частотами вводятся линейные неконсервативные силы, то устойчивость будет
разрушена вне зависимости от нелинейных членов [38].
Доказательство. Уравнение движения системы, на которую действуют линейные
потенциальные и неконсервативные позиционные силы, возьмем в форме (6.45)
z + Cos + Pz - Z.
При равных коэффициентах устойчивости С0 = сЕ, где Е - единичная матрица,
и последнее уравнение примет вид
я + cz + Pz = Z.
Составим характеристическое уравнение det [Е (X2 + с) + Р] = 0.
Это уравнение совпадает с уравнением (6.106), если в последнем заменить
X2 на X2 + с. Поэтому не равные нулю корни последнего уравнения
относительно X2 -\- с будут
X2 + с = + ai.
Отсюда
х = ± У У. + с. + Y 3f* + * --L i.
Наличие корней с положительной вещественной частью служит доказательством
теоремы.
Перейдем к рассмотрению устойчивости равновесия систем, находящихся под
