Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
виртуальных перемещений qw (q1, q2, q3), q - малый параметр. Тензор
напряжений Коши, если ограничиться линейными по q слагаемыми, станет
равным
Тх = Т + qT, t = lim -(Тх-Т). (1)
11-"0 1
По определению в гл. 1, § 10 тензор Т представляет конвективную
производную Т, не отличающуюся от его материальной производной, поскольку
Т явно не зависит от времени (q отождествляется с Ы).
Основываясь на представлении (3.4) и формулах в гл. 1,
§ 10 имеем
f ~ TV • w + 2 [TyF -ффг (F • F ф- F • F) -f- (Еф0 -f Fi|q -f Faip2)]
(2)
§ 5] ВАРЬИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ИЗ
и по (1.10.11)
2 |/ f [%F + ^(F-F + F.F)]=2 ]/ -§- [фх (F • Vw + VwT • F) +
+ ф2Р • (F • Vw + VwT- F) + o|)2 (F • Vw -f YwT- F) -F] =--=
•¦= 2 [(4\F + Tp2F2) - Vw + VwT-(ipiF -f i|)2F2) +
+ Tf2F -(Vw-f- VwT)-F],
Это выражение по (3.4), если ввести в рассмотрение линейный тензор
деформации e(w), приводится к виду
T-Vw + VwT-T -4 |/ [ф0е (w) - Tp2F е (w) -F], (3)
Переходим к вычислению фг (Г -0, 1, 2). По (II.3.3) и (1.10.15)-(1.10.17)
получаем
~ <5/, 7l + д!г 2+ dl3 1з -
d/х п д/2
(/xF-F2)+^/3E
•e(w),
или
2
Фг = 2 (Иог-Е + HxrF + H2rF2) ¦ • е (w) - 2 Е H,vrFjV--e(w) (4)
A -0
(суммирование по значениям N - 0, 1, 2, F° Е). Коэффициенты Наг
определяются "по формулам
дг|:г дфг дфг ЭЦ)Г
^0Г_=7*'*7Г> =^7Г + 711Щ-'
и структура зависимости Наг от фг та же, что фг от э; по формулам (3,5)
Фат выражаются через вторые производные э по инвариантам. При этом
обнаруживается симметричность этих коэффициентов по индексам N, Г
Наг = Ига, N, Г -0, 1, 2. (6)
После подстановки в (2) приходим к представлению Т
Т = - TV-w-fVwT-T + T-Vw + 4 |/-|у[-фое("0 + ФаР-e(w)• F]+
+ SSWrF"-.e(w). (7)
Г А
114 ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ [ГЛ. 4
Очевидно, что тензор Т симметричен. Окажется далее целесообразным ввести
в рассмотрение тензор
В Т ¦ Vw + 4 ]/ у [- Фое (w) + i^F ¦ е (w) • F] +
+ 22^rFrF'v--e(w), (8)
Г N
так что
ITV.w + VwT-T + 0. (9)
Конвективная производная тензора Пиола вычисляется те-
перь по (2.6.2) и (1.10.8)
Р-( ]/ у VH-t)' = ( уГ-|)'vrT-T+ У | (VrT)--T +
+ |/у VrT Т = У у VrT- (TV • w - VwT- T-f Т)
и no (9)
P=]/- VrT-B. (10)
Оказалось, что P связан с тензором 0 тем же соотношением, что и Р с Т.
§ 6. Уравнения равновесия в варьированном напряженном состоянии
Основываясь на уравнении статики (2.6.4) для тензора Пиола, мы избегнем
затруднений, связанных с варьированием базиса актуальной конфигурации.
Имеем
V- (Р + цР) + р0к + "ПРо^х = 0> V - Р p0k -j- т) (V - Р р0кх) = 0.
Через кх обозначена вариация массовой силы. Считая актуальную
конфигурацию равновесной, приходим к уравнению равновесия в варьированном
состоянии
V • Р + р0кх = 0 (1)
в векторном базисе отсчетной конфигурации. По (5.10) оно преобразуется в
базис актуальной конфигурации на основании (II 1.3.11) и тождества Пиола
g6] УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ 115
Уравнение равновесия в варьированном состоянии, если учесть также
(2.1.2), приводится к виду
V.0 + pkx=O. (2)
На поверхности варьированного объема по (2.6.5)
dO , ( dO
n-(P + T|P)-f -55- + -П (-55-) + (3)
)
dO
do
причем fx-вариация поверхностной силы. По (1.10.23) получаем
dO do
n • Р = [f (V • w - N • е (w) • N) + fx]
и no (5.10)
N-e-=f(V-w -N-e(w)-N) + fx. (4)
Роль тензора напряжений T в варьированном состоянии отходит к тензору 0.
Через этот тензор выражаются уравнения статики в объеме и на поверхности.
Конечно, напряженное состояние в актуальной конфигурации должно быть
наперед известно. Краевая задача (2), (4) линейна относительно вектора w.
Ее коэффициенты постоянны, если преобразование отсчетной конфигурации в
актуальную аффинно, тогда Т-постоянный тензор.
При нагружении поверхностным давлением, сохраняющим величину р и
остающимся направленным по нормали к поверхности, поверхностная сила в
варьированном состоянии по (2.1.11) и (1.10.19) определится из выражения
-/?N dO - х\р (N dO)' = - pN dO - r\pN dO ¦ (EV • w - VwT) (5)
и уравнения равновесия на поверхности (4) и (3) приобретают вид
N - 0 = - р N ¦ (EV • w - VwT),
п-Р = - ]/у п- VrT-(EV• w - VwT).
При мертвом поверхностном нагружении поверхностная сила на площадке dO
сохраняет в варьированном состоянии ту же величину и направление, что в
актуальной конфигурации, так что по (1.10.22) и (5.9)
(f dO) - = (N -Т dO)- = N dO- (Т + TV-w-VwT) = N - 0dO = 0. (7)
Как следовало ожидать, уравнения равновесия на поверхности для тензоров 0
и Р оказываются однородными
N•0-0, п-Р = 0. (8)
116 ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ [ГЛ. 4
§ 7. Тензор упругостей изотропной среды
Тензор упругостей -тензор четвертого ранга, равный производной тензора
напряжений по мере деформации, через которую он представлен. Например,
для линейно-упругого изотропного тела тензор напряжений - линейная
функция линейного тензора деформации
Т = Я/1(е)Е + 2ре(и) (1)
и по (II.3.1), (II.4.13)
Те = ЛЕЕ + ц (С" + Сш) - хРчпГрГс1гггь (2)
и компоненты тензора упругостей представляются выражениями
XPtrt = rprqrrrt.... [ЕЕЯ + (Сц + Сш) р] -=
