Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
где X0 — координата начального положения.
Если пренебречь поправками второго и высших порядков по амплитуде, то легко видеть, что а и ? должны быть равны нулю, так как перед приходом всплеска гравитационного излучения частицы по условию задачи покоились в своих первоначальных положениях. После прохождения волн A = O и частицы должны вновь оказаться покоящимися в своих первоначальных положениях.
Решение 18.12. Нормальные моды колебаний стержня (ориентированного для определенности вдоль оси х) находятся из уравнения
б/а ^ г dt " дх2 ' ^ '
Здесь I (х, t) — смещение некоторого элемента стержня, т —постоянная времени затухания, а а —скорость звука в веществе стержня. Эти моды имеют вид
1 = е~ше-"2хи(х), (2)
где и (х) — решение уравнения
+ + = (3)
Поскольку концы стержня не закреплены, граничное условие есть
= 0, (4)
iL
дх
X — + L12 456
РЕШЕНИЯ
где L-длина стержня. Решения уравнения (3), удовлетворяющие условию (4), суть
( sin tinx/L для нечетных п,
"я H ,1 (5)
cos плх/L для четных я,
а собственные частоты
со„ = nna/L,
если предположить, что со„ 1/т.
Рассмотрим гравитационную волну, распространяющуюся в направлении оси z. Она порождает силовое поле вида
Fi = - XkRjoko (t-z). (6)
Тогда, если считать, что стержень расположен в точке Z = О, к правой части уравнения (1) необходимо добавить вынуждающую силу
F(t, x) = — xRxoxo(t). (7)
Результирующее смещение можно выразить в виде суперпозиции нормальных мод
I = YiBnif) Un(X). (8)
п
Величины ип ортогональны, поэтому из уравнения (1) следует
\ Fun dx
Bn +^ К +ViBn = ^l-. (9)
j < —2/2
/2
Поскольку сила F антисимметрична относительно я = 0, вклад в интегралы дают только нечетные значения п. Для нечетных п правая часть уравнения (9) имеет вид
-Rxoxo (0 L/(2nW). Если стержень возбуждается на резонансной частоте, т. е.
Rxoxo "» то, подставляя в уравнение (9)
?v¦ і® J
получаем
7533" -і- <Ю) ГЛАВА 10
457
Поток энергии F гравитационной волны зависит от п как
I AW®» I2 ~ I/"2,
так что
I в I2 і
чувствительность ~ 1^2 ' п*' (H)
Решение 18.13і Внутри вещества имеем T1On _ -тог — F0
1 GWtIl 1 GW,і •
где Р — скорость, с которой внешние силы в единице объема совершают работу над гравитационными волнами. Изолируем глыбу цемента с поперечным сечением А и окружим ее некоторой замкнутой поверхностью. Тогда из теоремы Гаусса в 3-мерном пространстве следует
или
(nv U-nv IinH = ^dK =
^=скорость возрастания энергии волн
внутри гауссового «ящика» = = —скорость поглощения энергии волн цементом.
Следовательно,
скорость поглощения \ /скорость поглощения \ импульса на единицу \_| энергии на единицу \ поверхности за единицу! !поверхности за единицу!' времени / ^времени /
Решение 18.14. Пусть волна распространяется в направлении оси г, а молекулы смещаются в направлении оси х. Динамическое уравнение движения молекулы есть не что иное, как уравнение расхождения геодезических. Если ! — смещение молекулы, то это уравнение представляет собой действительную часть записанного в комплексном виде уравнения
I+Ti+wii=- Rx0X0X0=у hxxx0,
или
? (_ о2 - шТ + (Dg) = - ^ HxxX0 = - f А+Хоб-"»'.
Здесь со —частота волны, Г —величина, обратная времени затухания, й X0 — расстояние вдоль оси х от равновесного положения молекулы до центра масс. Уравнение легко решается относительно |:
I = у (й2А+Х$гш [((D2 - (Og) - ї(оГ]/Д, Д = (0)2-Ц)2 + ?02Га 458
решения
и относительно
І = —і- coM+X0e-to' [соГ +1 (со® - coo)]/А.
Из этих соотношений можно сразу определить скорость, с которой молекула массы от поглощает энергию:
Re {(І)[- jmcoM W»')} = ^ Г ІЛ+ I2Xg.
Чтобы найти скорость поглощения импульса, нам придется вспомнить, что существует еще и продольное расхождение геодезических, хотя оно и меньше поперечного в cjv раз:
Zrz = - тР\хЛІ = f IxxX„І = - у OTco2X0Re {Л+ег'™} Re {І}.
Тогда усредненное по времени значение силы, действующей В направлении распространения волны, есть
(Fz) = 4 OTto6Xgr (Re (А+е~ш) • Re (Л+<г;(О0> = ^ ть)вГ I 12*о,
что и дает на микроскопическом уровне объяснение результата задачи 18.13.
Решение 18.15. Рассмотрим две частицы, находящиеся на расстоянии d друг от друга. Их относительная скорость под воздействием волны флуктуирует так, что Av^hwd. Если в течение данного периода волны две частицы соударяются друг с другом, то это значит, что по порядку величины расстояние между ними dr^vfсо, откуда Av^hv. Тогда в среднем при наличии волны частицы будут соударяться с энергиями, в (Av/v)2 раз большими, чем в ее отсутствие. Поскольку в процессе соударения направления движения частиц меняются случайным образом, эта энергия не будет вычитаться во время следующего полу пер иода, когда амплитуда волны противоположна. Энергия участвующих в соударении частиц возрастает также в (Av/v)2 раз в результате еще одного эффекта: дело в том, что частицы, движущиеся навстречу друг другу со скоростью V + Av, обладают большей вероятностью столкнуться, чем частицы, движущиеся со скоростью V — Av. Мы заключаем поэтому, что при температуре T энергия каждого соударения в среднем возрастает на величину порядка (Av/v)2kT ^ r^h2kT. Число столкновений на единицу объема в единицу вре мени есть
