Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
Решение 19.3. По теореме Лиувилля плотность числа фотонов в фазовом пространстве /v/v3 постоянна вдоль траектории светового луча и является также (см. задачу 5.10) лоренц-инва-риантной величиной. Тогда, воспользовавшись определением
(УИэлЛ>набл) = 1 + 2, 470
РЕШЕНИЯ
будем иметь
Наблюдаемый поток = Q С /"абл dv„a&1 = Q \(~г3-л4бл сК>Набл =
J J \ унабл / /ИЗЛ v3 J _ Q I iV изл изл _
J Кзл О+2)4 ~
__Q С т ИЗЛ j__Q 1
~ О+*)4 3 v flv"M- (1+г)1 IFay '
где а —постоянная Стефана —Больцмана. Обратите внимание, что, так как испытавший красное смещение чернотельный спектр также является некоторым чернотельным спектром, наблюдаемые нами спектр и поток излучения выглядят так, как будто они приходят к нам от расположенного поблизости стационарного объекта, температура которого есть 77(1+z), а излучение заполняет телесный угол Q для земного наблюдателя.
Все сказанное выше не зависит от того, является ли красное смещение гравитационным, космологическим или обусловленным эффектом Доплера, так как теорема Лиувилля справедлива в общем случае.
Решение 19.4. Из условия однородности следует, что скалярная кривизна R гиперповерхности должна быть постоянной. Величину R можно найти, либо подставляя конкретные значения в формулы задачи 9.20, либо же из формулы
Rij = Г V, * - (In I g |'/,)>(у + Tkij (In I g Г)і4 - VimTmjkt
где IgI1^=O3ZraSinfl, а символы Кристоффеля Г находятся или из лагранжиана для геодезических, или так, как в задаче 7.6. В результате получаем
Rm = Trъъ, г — (In(SinA))i^ + Tr^(InZr2)i г — Г^фГ4^ — 2Г100тГ"'а<>—
= — (r/"2) г + cosec2 А - r-y-3 (r2Z) г - ctg2 A+ 2/- 2 = = Cr2(I-Hb^r)-1.
Поскольку а в силу изотропии
Я; у = = Ru>
получаем
R = Я; 7 + + * фф = 3^2 (1 -П\г (2^3)-1 =А>
откуда
ra (1 — Z-2) = Bri + С. Так как f-*-l при г-> 0, имеем C = O. Следовательно,
Z2 = (I-Bra)"1. ГЛАВА 10
471
Если Вф О, мы можем выбрать масштаб г, полагая г' =
= \В\2г. Тогда метрика с радиальной координатой г' примет как раз требующийся нам вид.
Решение 19.5.
а) Пусть
Тогда
cos X d%, dr = { d%,
ch %d%
dra
l-kra
Окончательно имеем dr*
і-kr2
r2dQ2 = d%2 + H2 (X) ^2,
где
("Sin2X, 6=+1,
S2(x)= X2, 6 = 0, lsh2x, 6 = -1.
б) Определим преобразование от переменной t к переменной г] с помощью соотношения
Тогда
dt = R (t]) dr\.
ds2 = —dt2 + P2 (t) (dx2 + 22dQ2) = = Я2 (Л) (— d42 + dX2 + 22dQ2).
Решение 19.6. Из метрики Робертсона —Уокера, записанной в «тригонометрическом» виде, следует, что метрика для пространственно-подобных 3-поверхностей имеет вид
do2 = a2[d%2 + sin2 X (dft2 + sin2 fldtp2)].
По аналогии с метрикой для 2-сфер легко догадаться, что эту метрику можно представить как 3-сферу, погруженную в евклидово 4-пространство с декартовыми координатами W, X, Y, Z. 472
РЕШЕНИЯ
В частности, если мы положим W = acosx, Z = а sin X cos ft, X = а sin % sin ft cos cp, F = asinxsinftsincp
(что удовлетворяет соотношению A2 = W2 + Z2 + Xа + F2), то метрика примет вид
da2 = dW2 + dZ2 + dX2 + dY2.
В евклидовом 4-пространстве можно найти две плоскости (например, XF и WZ), которые пересекаются только в начале координат (а = 0). Следовательно, поворот плоскости XF меняет все координаты X и F, за исключением начала координат, и оставляет неподвижными все координаты WnZ; для поворотов в плоскости WZ дело обстоит наоборот. Таким образом, комбинация двух таких поворотов не оставляет ни одной неподвижной точки, за исключением начала координат, и (для ненулевого а) переводит все точки 3-сферы в отличные от них точки.
Решение 19.7. Предположим, что пуля пролетает мимо наблюдателя в некоторой локальной собственной системе отсчета с собственной скоростью V. После того как она продвинулась еще на собственное расстояние dr, пуля пролетает мимо космологического наблюдателя, чья скорость относительно первой собственной системы равна
6F = Hdr = HVdt = ^Vdt=V .
Этот наблюдатель, измеряя скорость пули, получает (в соответствии с формулой сложения скоростей) значение
V—Jiz^l = у - (1_уа) 6К + 0(6V)2 = F - (1 - V2) V^ + 0(bV)2.
Отсюда имеем уравнение
dV/dR = — (l-V2) V/R-,
проинтегрировав его, находим ответ:
__i_
yV==(\-V2) 2 V = const/tf = const -(1+z). Следовательно, F1 и V2 связаны соотношением
Y.lWi!=(1+2)-1, ГЛАВА 10
473
Для частицы с ненулевой массой покоя этот результат означает, что релятивистский импульс по мере расширения Вселенной убывает (испытывает «красное смещение») обратно пропорционально (1+z). Для фотона в пределе V 1 имеем уV~+hv, и наш результат сводится к обычной формуле для красного смещения. Обратите внимание, что мы не учли эффект замедления пули, обусловленный гравитационным притяжением космологического вещества, покоящегося в собственной системе отсчета. Читатель может самостоятельно проверить, что это эффект более высокого порядка и для него dV ^dr2, так что он не влияет на вид дифференциального уравнения для dVIdR.
Решение 19.8. Запишем сначала метрику в координатах г), % (третий вариант записи в задаче 19.5):
