Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
* = (19)
Эта функция даёт однолистное конформное отображение всей z-плоскости навею ^-плоскость, а следовательно, и любой области z-плоскости на некоторую область ^-плоскости. Полагая
Z=rei(?y W = регФ,
мы запишем (19) в виде
(T)-- Р = 7, ф=-9. (Id1)
Нам удобно рассматривать T как результат последовательности двух, геометрически более наглядных отображений:
(T1): P1 =4, фх
(Ti): P = P„ ф=-^,
43
(IS1)из который второе представляет собой симметрию относительно оси X, а первое — инверсию —- симметрию относительно единичной окружности I Z [ = 1.
Пусть дана произвольная окружность С радиуса R с центром в точке z0. Как известно, точки Z1 и Z2 называются симметричными (сопряжёнными) относительно С, если
arg (z, -Z0) = arg (z2-z0), Ui-S0I IZa-Z0I=B2.
Преобразование, переводящее каждую точку z-плоскости в точку w, симметричную с Z относительно С, называется симметрией относительно окружности, или инверсией. Инверсию можно осуществить с помощью
простого геометрического построения (рис. 8) —через точку P проводим перпендикуляр PM до пересечения с окружностью С в точке М; касательная MQ к С в этой точке пересекает луч OP в точке Q, симметричной с P (при OP > R построение обратно).
Отметим простые свойства инверсии. Очевидно, она преобразует его внешность, так что центр круга Z0 переходит в бесконечно удалённую точку, точки окружности | z — Z0I = E остаются неподвижными и каждый её радиус переходит сам в себя. Так как инвер-
R2
сия отличается от конформного отображения w — z0= лишь симметрией относительно действительной оси:
W-Z0 = -JL=^ (20J
то она обладает свойством консерватизма уїлов и крую-вым свойством (см. п. 15) — инверсия является конформным отображением, меняющим ориентацию (конформным отображением второго рода).
Заметим далее, что любая окружность С, проходящая через точку z0, переходит при инверсии в прямую линию. В самом деле, пусть Rf- радиус этой окружности и О' — её центр (рис.. 9); построим прямую L1 перпендикулярную
(20)
круг \z — z0\<R в
44R2
OOf на расстоянии ON = ^Rr от ^3 подобия треугольников ONQ и OPM получаем
OP-OQ
R2
OP _ ON OM — OQ !
т. е. точка Q1 симметричная с P1 действительно лежит на прямой L.
Покажем, что инверсия преобразует любую окружность С", не проходящую через Z01 в окружность. Для доказательства воспользуемся следующим свойством симметричных относительно окружности точек: любая окружность Г, проходящая через точки О и P1 сопряжённые относительно С", ортогональна СДействительно, по известной теореме, квадрат длины касательной О'/If1 к Г, проведённой из
Рис. 9.
Рис. 10.
центра Cr, О'Mi = OO'-OyP = R'2 равен квадрату радиуса С", следовательно, касательная OMr к Г является одновременно и радиусом С (рис. 10) — Г и С' — ортогональны. Выберем теперь в качестве P то^ку, симметричную с точкой Z0 относительно С", и проведём через P пучок окружностей (Г), ортогональных С"; по свойству сопряжённых точек все окружности пучка проходят через Z0 и по доказанному выше при инверсии относительно С преобразуются в прямые, проходящие через точку Q1 соответствующую Р. Вследствие консерватизхма углов при инверсии образ С" пересекает все эти прямые ортохонально и, значит, является окружностью.
Подобным'же образом доказывается ещё одно важное свойство инверсии: при инверсии пара точек Z1 и Z2, симметричных относительно произвольной окружности С", переходит в пару точек W1 и W21 симметричных относительно Y — образа С'.
В самом деле, проведём через Z1 и Z2 пучок (S) окружностей; этот пучок ортогонален С". При инверсии С перей-
45дёт в Г', а окружности пучка (S)-B окружности, ортогональные 1", проходящие через W1 и W2; следовательно, W1 и W2 сопряжены относительно Г.
Преобразование T2- симметрию относительно прямой — можно рассматривать, как предельный случай инверсии, симметрию относительно окружности бесконечно большого радиуса; свойства, установленные нами для инверсии, для него очевидны. Так как преобразование (19) T = T1XT2 есть результат последовательности двух симметрий, то оно также обладает этими свойствами.
3°. Общий случай. Отправляясь от рассмотренных частных случаев, нетрудно установить следующие свойства общих дробно-линейных преобразований.
Теорема 1. Дробно-линейное преобразование (17) однолистно отображаете всю z-плоскостъ на всю w-плоскость.
Образ любой окружности есть или прямая, или окружность.
Любая пара точек, симметричных относительно произвольной окружности, при преобразовании (17) переходит в пару точек, симметричных относительно окружности Cf — образа окружности С.
Все перечисленные свойства тривиальны при а2 = 0, следовательно, достаточно рассмотреть случай а2 Ф 0. Но тогда преобразование (17) приводится к виду
Отображение (17J можно представить, как результат последовательности следующих трёх отображений:
Но так как по доказанному выше каждое из трёх преобразований (172) обладает всеми тремя перечисленными свойствами, то этими же свойствами будет обладать и результирующее преобразование (17J. Теорема доказана.