Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 18.
рядка), обладает действительным периодом тг: tg(z-f Ы) = = Igz1 однолистна в полосах
— j + kn < X +
В этом проще всего убедиться, отделяя действительные и мнимые часги (33):
и =
sin 2х
ch 2у + cos 2х 1
V =
sh 2 у
ch 2у + cos 2х '
(33,)
На рис. 19 показано отображение с помощью w = tgz полосы —- ~ < X < ~ . Эта полоса отображается на единич-
58 НЫЙ круг I W I < 1 — прямые X = const переходят в дуги окружностей, проходящих через ТОЧКИ W= - ІИ W = +І,
Рис. 19.
прямые у = const — в дуги окружностей, ортогональных им. Функции
W = COS Z = sin , W = Shz= — і sin iz,
(v = chz = cos/z, W = Ihz= — і ig iz
дают отображения, которые получаются из рассмотренных лишь дополнительными сдвигами и поворотами.
ГЛАВА III
ПРИНЦИП СИММЕТРИИ ШВАРЦА И ПРИНЦИП СООТВЕТСТВИЯ ГРАНИЦ
Эту главу мы посвящаем двум элементарным принципам, играющим исключительную роль при фактическом построении конформных отображений сравнительно широких классов областей. Начнём с небольшого обобщения, введённого в предыдущей главе понятия сопряжённой точки.
31. Сопряжённые точки и опасти. Пусть AB есть произвольная дуга окружности С или отрезок прямой L. Точки
Z1 и Z2 мы называем сопряжёнными относительно AB, если они являются сопряжёнными относительно окружности С или, соответственно, прямой L. Пусть граница области D
содержит дугу AB окружности С. Множество всех точек, сопряжённых с точками D относительно AB9 представляет
59 собой, очевидно, некоторую область D9 которую мы будем называть областью, сопряжённой с D относительно AB.
Для того чтобы область D и ей сопряжённая область D не имели общих точек, очевидно необходимо и достаточно, чтобы D не содержала никакой пары сопряжённых точек. Если условие выполнено и если D односвязна, то область A5 составленная из D9 D и точек дуги, будет также односвязной областью.
32. Принцип Шварца. Перейдём к формулировке и доказательству первого принципа.
Теорема 2. (Принцип симметрии Шварца.)
Пусть граница области D содержит дугу окружности AB9
а граница области D1 содержит дугу окружности A1B1 (рис. 20). Пусть
w = f(z)
есть функция, реализующая конформное отображение D на D19 такое, что
дуга AB переходит в дугу A1B19 предположим еще, что область D не содержит никакой пары сопряжённых относительно AB точек. При этих условиях:
1. Функция f(z) может быть аналитически продолжена за дугу AB на всю область D9 сопряжённую с D относительно дуги AB.
2. Аналитическое продолжение f на D реализует конформное отображение D на область D19 сопряжённую с D1 относительно A1B1.
3. Если точки Z1 и Z2 сопряжены относительно AB и принадлежат, соответственно, областям DuD9 то значение / в точке Z1 и значеШе аналитического продолжения f в точке Z2 сопряжены относительно A1B1.
Доказательство. Совершим над переменными zh w линейные преобразования:
a2w+b2
Рис. 20. область D
Z = a^z
C1Z + dt>
W =
c2w-\-d2
так, чтобы дуги AB и A1B1 перешли, соответственно, в от-
60 резок (0, 1) оси Xy Z = X+ iY и в отрезок (0,1) оси U,W = U+iV.
В силу теоремы 1 эти преобразования сводят доказательство принципа к случаю, когда AB и AjB1 суть единичные отрезки действительных осей. Докажем принцип для этого частного случая.
Пусть Z = X + iy произвольная точка Df a z = x — iy ей сопряжённая в области JD (рис. 21). Положим
В силу нашей конструкции и определения конформного отображения функция w = ft (z) реализует конформное
чение /(z), когда z по точкам D стремится" к точке х отрезка (0, 1). „ Пусть Д есть область, составленная из областей Z), D и точек отрезка (0, 1). Построим в А функцию F (z), совпадающую с / в D, с J1 в D и принимающую нд отрезке (О, 1) значения /о (я). В силу теоремы о соответствии границ при конформном отображении (п. 20, основная теорема, 2°) и определения функции F, последняя непрерывна в А и аналитична во всех точках Д, кроме, быть может, точек отрезка (0,1), но в силу теоремы об аналитическом продолжении (введение, п. 13) при наших условиях функция F аналитична во всей области Д, следовательно, Д есть аналитическое продолжение функции / за отрезок (0, 1). Принцип симметрии полностью доказан.
33. Принцип соответствия границ. Второй важный в практике конформных отображений принцип формулируется следующим образом:
Теорема 3. (Принцип соответствия грани ц.) Пусть даны две односвязные ограниченные обласЬги D и
U (0 = 1(z).
Обозначим ещё /0 (х) = = Iim / (Z) предельное зна-
Рис. 21.
61 правильная в D, непрерывная и дифференцируемая в замкнутой области D = D-\-Y. При этих условиях, если w = f(z) осуществляет гомеоморфное1) соответствие точек Г в у, и положительному обходу Г соответствует положительный обход у» шо функция f(z) однолистна в D и даёт конформное отображение области D на область А.
Доказательство. В самом деле, так как у есть гра-ница односвязной области, то по теореме о вычетах (введение, п. 12) имеем:
JL С <1} (34)
2т J w — W0 7 v '
T
где W0 есть произвольная точка. С другой стороны, в силу условий теоремы в интеграле (34) можно произвести замену переменных, полагая для всех точек у
