Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
W = f (г);
тогда неравенство (34) примет вид
ІЛ Ґ (z) dz -ґ і
2rd 3 /(*)-/(*) ^
Г
и, следовательно, по теореме о нулях (там же), какова бы ни была точка Z0 из D, разность f{z) — f(z0) не может иметь в области D более одного нуля, т.е. двум различным z всег гда отвечают два различные значения /(z) — функция f(z) однолистна в J5. Но так как все граничные значения f {z) принадлежат у? то, следовательно, f (z) даёт конформное отображение Z) на А.
34. Обобщения. Заключение принципа сохраняет силу при различных ослаблениях его условий. Отметим наиболее существенные из таких обобщений.
1°. Принцип сохраняет силу, если граница области D содержит бесконечно удалённую точку.
2°. В условиях принципа можно допустить, чтобы в изолированных точках Z1, ... ,Zn контура Г, производная f (z) обращалась в бесконечность «интегрируемого типа»:
|/'(2)|<|Т=^. О < v < 1, /'= 1, 2, .,. , я.
3°. Если область D содержит бесконечно удалённую точку, то принцип сохраняет силу, если потребовать, чтобы
1J Так называют соответствие, однозначное и непрерывное вместе с обратным ему соответствием.
62 SuHKtim f(z) была правильна всюду в D9 кроме некоторой её точки Z0 (конечной или бесконечной), в которой f(z) имеет простой полюс.
Для первых двух обобщений приведённое доказательство сохраняет силу. Для третьего обобщения мы вводим новое переменное
Z =-,
2 — а-
где а точка, расположенная вне D9 тогда область D преобразуется в область, не содержащую оо, и повторяем доказательство простейшего случая принципа, учитывая при применении теории вычетов полюс /(z).
Остановимся ещё на одном обобщении принципа, важжш для приложений.
4°. Допустим, что граница у области Д имеет одну или несколько бесконечных ветвей. Заметим прежде всего, что правильность /(z) в D и наличие взаимно-однозначного ,соответствия между точками Г и у ещё не обеспечивают соблюдение принципа. В самом деле, примем за D верхнюю полуплоскость у > 0 и положим
W = f (Z)=Z3;
функция/(z) правильна в D и осуществляет взаимно-однозначное соответствие между всеми точками ОСИ X и оси и. 'При положительном обходе D точка w совершает положительный обход верхней полуплоскости ПЛОСКОСТИ W. Вместе с тем, рассматриваемая функция w = z3 не является однолистной в D.
Приведём без доказательства дополнительное условие, обеспечивающее сохранение принципа.
Пусть при отображении w=_f(z) бесконечно удалённые точки у соответствуют правильным точкам z19 Z29 ... , Zn контура Г. Для возможности применения принципа достаточно соблюдение следующих условий: 1) / (z) правильна в D\ 2) /(z) непрерывна и дифференцируема во всех точках Г кроме точек z19 Z29 ... , zn; 3) /(z) устанавливает взаимнооднозначное соответствие точек Г и у? положительному обходу D соответствует положительный обход А; 4) в окрестности каждой точки Zj имеем
|/(z)|<]z-zy|-", 0<v<2.
35. Поведение отображения в угловых точках. Отметим одно простое приложение принципа симметрии, важное для дальнейшего.
63 Пусть граница у области А содержит два прямолинейных отрезка, выходящих из начала координат и образующих
п
Рис. 22.
между собой угол а, 0<а<2іг (рис. 22) и пусть функция
* = /(*), /(O) = O
реализует конформное отображение полуплоскости у > 0 на область А так, что начало координат переходит в вершину угла.
Выясним характер особенности функции f{z) в окрестности точки Z = O. Для этой цеди продолжим отрезки, ограничивающие данный угол ос, в бесконечность и получившуюся таким образом угловую область 6 < arg w < б+ а отобразим конформно на верхнюю полуплоскость переменного ? = ? -f J7) і так, чтобы точки 0 и оо перешли вточ-A V? ки 0, оо. Искомым отображением будет
Рис. 23. —ГГС9 %_
? = е * Wat ( '
'При отображении (35) область А переходит в некоторую область A7, функция
—<«0 % —г л»О те
С = W* = [/ (z)Y = F (z)
реализует конформное отображение полуплоскости у > О на А, причём некоторый отрезок (^b2) оси X1 содержащий точку Z = 0, переходит в некоторый отрезок (P1, P2) оси 5, содержащий точку C = O (рис. 23).
Следовательно, в силу принципа симметрии, F (z) может быть аналитически продолжена за отрезок (61? 62) —функция F (z) правильна и однолистна в окрестности точки z = 0.
Отсюда прежде всего явствует геометрический характер поведения конформного отображения в угловых точках гра-
64 ницы. Пусть на полуплоскости у > 0 некоторая дуга С образует угол <р с осью X (рис. 22); в силу отме-енной регулярности функции 4 = F(z) образ этой дуги в полуплоскости у)>0 образует с осью ? тот же угол <р, но тогда по определению функции F (z) получим, что образ у дуги С в области Д образует с лучом О'M' угол
Gt
Таким образом, в угловых точках границы нарушается свойство консерватизма углов, причем все углы изменяются в постоянном отношении.
Вь ясним теперь аналитический характер конформного отображения в угловых точках. Так как, крол.е отаеченных свойств функции F(z), по условию F(O) = O, то в окрестности точки z = 0 F (z) имеет следующую структуру:
