Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
23, Условия, определяющие дробно-линейное преобразование. Общее дробно-линейное преобразование определяется четырьмя комплексными коэффициентами а19 а2, 63, Ь2. Так как без ограничения общности можно считать один из коэффициентов формулы (17) равным 1, деля на него, в случае надобности, числитель и знаменатель этой
46 формулы, то дробно-линейное преобразование фактически зависит от трёх комплексных или шести действительных араметров,—дробно-линейное преобразование можно построить, если задать условия, приводящие к шести независимым соотношениям между действительными и мнимыми частями коэффициентов.
[ростейшей задачей на построение дробно-линейного преобразования является следующая: пусть в z-плоскости даны три точки z19 Z29 Z3, а в w-плоскости три точки CV1, W2, W^ требуется построить дробно-линейное преобразование, переводящее, соответственно, Z19 Z2, Z3 В W19 W29 W3.
Для решения этой задачи рассмотрим вспомогательную плоскость Z и построим дробно-линейные отображения z-плоскости и w-плоскости на Z-плоскость так, чтобы заданные тройки точек перешли в точки 0, 1, оо. Таким свойством будут, очевидно, обладать следующие отображения:
2f_ Z zI zZ 2rS
JZ ~~~ Zr, Zcy Zf
Z="-
(21)
W-Wo W9 -Wf
Исключая Z из этой системы, мы получим искомое отображение
"::. (22)
W1 W, — W о
W-W3 W2- W1 Z-Z3 Z2- Z1
Нетрудно показать, что построенное решение единственно. В самом деле, если бы существовало искомое отображение, отличное от (22), то, используя (21), мы построили бы нетождественное отображение Z-плоскости на W-іілоскость:
ТЯ/ — alZ + °2
KZ + ъ2 '
переводящее ТОЧКИ 0, 1 И OO в точки 0, 1 и ОО, но из условия соответствия бесконечно удалённых точек получим ^1==O, следовательно,
w=%z+? ,
а используя два другие условия, получим ^=O. и ~ =1,
O2 O2
то-есть
W = Z;
этим самым единственность отображения доказана.
47 Легко убедиться, что формулы (21) и (22) сохраняю^ смысл; если одна из точек Zi есть точка с», числитель и знаменатель тех отношений, где появится оо, следует заменить единицей. Например, если Wz == оо, то (22) примет вид
W-W1 W2 -OO _ Z-Z1 Z2 — Z3
W — OO W.A — W1 Z —- Zz Z2 — Z1 J
или
W-W1 _ Z-Z1 Z2-Zz
W2-W1 z— Z3 Z2- Z1
Формула (22) даёт также решение следующей задачи: отобразить конформно круг С на круг С' так, чтобы три заданных точки Z1, z2, Z3 окружности С перешли в три заданные точки W1, w2, Ws окружности С".
В самом деле, преобразование (22) переводит точки Z1, z2, Z3 в точки W1, w2, W3, следовательно, окружность С, однозначно определяемая точками Z1, z2, z3, пе^рейдрт в окружность С". Возможны два случая: 1) внутренность к окружности С переходит во внутренность к С" и 2) внутренность к окружности С переходит во внешность к С". Для решения вопроса о том, какой из этих случаев реализует (22), примем, что точки Z1, z2, Z3 занумерованы в порядке положительного обхода круга, внутреннего к С. Тогда нетрудно видеть, что если при положительном обходе круга, внутреннего к С", точка W2 будет следовать за W1, a W3 за W2, мы будем иметь первый случай; при противоположном следовании точек W — второй.
Отметим теперь несколько приложений формулы (22) к конкретным задачам, важным для приложений.
24. Отображение единичного круга на единичный круг. Требуется конформно отобразить посредством w = f (z) единичный круг IZI < 1 на единичный круг WI < 1 при следующих условиях:
/(Z0) = O, arg/'(Z0) = а, (23)
где Z0 = rei0 есть некоторая точка круга |z|<l.
Построим предварительно отображение, удовлетворяющее условиям:
/ (*о) = 0, = (23')
В силу теоремы 1 при искомом отображении точка Z1 = - - симметричная с Z0 относительно единичной окруж-
48 шзсти, должна переходить в точку, симметричную CW = O относительно единичной окружности I WI = 1. Таким образом, искомое дробно-линейное преобразование должно переводить ТОЧ^И Z0, Z19 eiQ в точки 0, OO7 еи. Применяя к этому случаи^ формулу (22), окончательно получим
(24)
Производная (24) равна
\ dw~\ _ і L dz J ^=Z0 ~ 1 — '
следовательно,
arg[?rL*o=0-
Для получения искомого отображения мы должны к ото-
Рис. 11.
бражению (24) добавить поворот плоскости w на угол а: отображением, удовлетворяющим условию (23), будет
W-
1 — ZnZ
(25)
На рис. И изображены лищи Г, Г' круга |z| < 1, переходящие при этом отображении в окружности \w\=c и лучи arg w = c.
Линии Г и Г' образуют взаимно ортогональные пучки окружностей.
Заметим, что растяжение отображения (25) в точке z0,
[\dw\l _ * L I dz j Jxe2o -і—"г» '
стремится в бесконечность, как --у—р > если Расстояние 1 — г точки Z0 до окружности IzJ=I стремится к нулю.
Н^нформные отображения 49 Отметим ещё соотношение, связывающее аргументы ф и <]> точек единичных окружностей при отображении (^4) (« — 0):
' • спс (Л + cos(y—0)-2г
COSiV У) 1.— 2г cos (<р — 9) -f-~r2 '
25. Отображение единичного круга на полуплоскость.
Построим конформное отображение w = f(z) единичного
круга IZ I < 1 на полуплоскость Imcv > О при следующих условиях:
