Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
тогда
!/(z)Klz I,
причём знак равенства достигается только когда f(z) = eiaz.
Для доказательства представим функцию f(z) по формуле Тейлора (34), положив в ней zu 0 вместо z-\-h и z, и п= О!
M = I и=1
и построим функцию
и»/W-JC tif) dt
Г W — z — 2ni ) t (t — • |*|=ї
Функция F(z) аналитична при |z[<l, следовательно, для ! Z I < г<1 максимум её модуля достигается при | z | == г, следовательно , при I Z I < г 1
но так как г есть любое число, меньшее единицы, то
^I = IF(Z)Kl
IZ(*)KMI-
Если в некоторой точке Z, |z|<l достигается знак равенства, то в силу принципа максимума F (z) есть постоянная с, то-есть
/ (z) = CZ,
причём
I С I = 1 и C = еіл.
11. Теорема Лиувилля. Из леммы Шварца легко вытекает следующая теорема Лиувилля:
Если функция / (z) аналитична при всех конечных значениях z и ограничена, | / (z) | < M, то f(z) есть постоянная. В самом деле, функция при любом значении В > 0 удовлетворяет условиям леммы Шварца, следовательно,
|/(Яг)-/(0)|<2ЛГ!г|,
или
IZW-Z(O)K^;
так как В произвольно, то из последнего неравенства следует, что при любом Z
/ (2) = /(0) = const.
Теорема Лиувилля допускает различные обобщения, отметим одно из них:
Пусть f(z) аналитична во всех точках z-шіоскости, кроме конечного числа точек av а2, ..., ап и точки ая+1= со, в которых f(z) имеет полюсы (в точке а} — полюс порядка kj). При этих условиях /(z) есть рациональная функция вида
' W - (Z _ «,)*! 4rIz- ay*-1 + ' • • + (»¦- «і) ^
4(п> , ,4(4)
лкп , Лкп-І І , А1 І
• + "-TT ~г
+Л(0»+і) + ^(»+%+ . . . (37)
В самом деле, в силу условий теоремы и формул (35") и (36") коэффициенты А в правой части (37) могут быть подобраны так, что разность левой и правой частей (37) будет удовлетворять условиям теоремы Лиувилля, т. е. будет постоянной. Теорема доказана.
В частности, если / (z) имеет в точках аК Ф оо лишь простые полюсы, она есть рациональная функция вида
,, V AM . A^ , , А^п) , л л ,, V /Qf7,4
= + + + іде Л = /(00). (37)
13. Теоремы о вычетах и нулях. Пусть функция /(z) аналитична во всех точках кру^а |z — Z0! < г кроме самой точки Z0 и пусть при 0 < I Z —- z0 J < г, / (z) представима рядом
/W = <Р W + ^ + (1? + • • • + (1?- + — (38) гДе <р(z) — функция, аналитическая во всём круге | z — Z01 <г, а ряд сходится равномерно во всяком кольце
О < г, С I Z-Z0KreCr 1^.
При этих обозначениях число ах называется вычетом функции /(z) относительно точки Z0.
В частности, если / (z) представима рядом
/(3)-9(*) + ?+?+
равномерно сходящимся во всяком кольце E0C 2 | С R1 С , начиная с достаточно большого R07 где <p(z) регулярна при
1 ZI > R0, то число аг называется вычетом /(z) в бесконечности.
Формулируем основную теорему о вычетах. Пусть облает ь D ограничена кусочно-гладким контуром ^uj (z)—функция аналитическая на у и в D всюду кроме конечного числа точек Z1, Z2,..., zn, не лежащих нау. При этих условиях интеграл / (z) по у> делённый на
2 ш, равен сумме вычетов / (z) относительно всех точек
Z1, Z2, ... , Zn.
Обозначая вычет / (z) относительно zf через таким образом, будем иметь
4 ^ / (Z) dz = а(1) + а<*> + ... + «(»>. (39)
T
Для доказательства выберем число г настолько малым, чтобы все кру,и IZ-ZylCr принадлежали D и были попарно без общих точек. В силу теоремы Коши (26) имеем
T |z-zi|=r \z-zn\=r
С другой стороны, представляя f(z) в /-м интеграле по формуле (38) и интегрируя почленно, получим
|z-zy|=r
Доказанная теорема о вычетах имеет многочисленные приложения при вычислениях определённых интегралов, кроме
1J Опираясь на формулу Коши, приёмом, аналогичным приёму, использованному при выводе формулы Тейлора, можно доказать, что ив аналитичности / (z) при 0 < | z — z01 < г следует её представимость рядом (38).
25 того, из этой теоремы может быть получена важная формула для вычисления числа нулей аналитической функции в данной области.
Пусть f (z) аналитична в односвязной области Df включая её границу у, и пусть f(z) отлична от нуля на у.
При этих условиях сумма вычетов функции в об-
1 \z)
ласти D равна числу нулей f (z) в D, причём каждый нуль нужно считать столько раз, какова его кратность
Запишем теорему формулой. Пусть /(z) имеет в Dn нулей Z1, Z2, ..., zn, причём нуль Zj имеет кратность Aj-, тогда
(40)
г
Для доказательства заметим прежде всего, что в силу
/' (Z)
условий теоремы И формулы (35) функция F (z) = удо-
/ \z)
влетворяет условиям теоремы о вычетах — F (z) аналитична всюду в D кроме точек Z/, в которых она имеет полюсы. Нам остаётся показать, что вычет F (z) относительно точки Zj равен kj, но согласно (35') в круге |z — Zi | < г достаточно •малого радиуса имеем
f{z)^a(z-zjp{i + 9(z)}.
Следовательно,
где <l>(z) аналитична при |z — zy-1< г. Вычет F (z) относительно точки Zj равен теорема доказана.
13. Аналитическое продолжение. Пусть нам даны две области D1 vi D2 vi пусть границы этих областей имеют общую їладкую дугу у (см. рисунок). Пусть, кроме того, в области D1 определена аналитическая функция Д (z), а в области D2 аналитическая функции /2(z). Функцию /2 (z) назовём аналитическим продолжением функции Z1 (z) в область D2 через дугу у, если существует функция / (z), аналитическая во всех точках области D7 состоящей из точек Dli D2 и у, D = DX + D% + у, совпадающая сД BjD1 и с /авD2.
