Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
24 Приведём один простой критерий, достаточный для того, чтобы /2 являлась аналитическим продолжением /1#
Если fx(z), аналитическая в D1, определена и непрерывна в D1jT^ (D1 + у есть область D1, дополненная точками у), и /2 аналитическая в D2, определена
и непрерывна в D2 + у и если на Y / 2 (^) = /1 (2O* то /2 является аналитическим продолжением J1 в D2 через у.
Для доказательства обозначим через Г границу области D, а через Г' гладкий замкнутый контур, входящий в D, сколь угодно близкий к Г и пересекающий у в двух точках Ci1, а2. Положим
іде 9 (t) = Z1 (t) в точках Г', принадлежащих .D1 и ср(/) = /2 (Г) в точках Г', принадлежащих D2, 9(0 = /1(0 = /2(0 в точках у. Функция f (z) аналитична в области D', ограниченной Г'. Покажем, что / (z) = fx(z) в любой точке Z9 входящей BD1 и Z)'. Для этой цели образуем контур Г3, состоящий из дуги F1-части Г', входящей в D1, и дуги ух — части у, заключённой между точками аг, а2, образуем также контур Г2, состоящий из дуги Tg-части Г', входящей в D2, и дуги Y1.
В силу формулы Коши и теоремы Коши Для рассматриваемой точки z области D1, соответственно, имеем
вполне аналогично докажем, что /2 (2;) = / (z); теорема доказана.
складывая почленно, получим
27 ГЛАВА I
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
14. Геометрически© понятия. Отметим несколько геометрических понятий, с которыми в дальнейшем нам придётся иметь дело.
Под областью мы будем понимать совокупность D точек плоскости, обладающую следующими двумя свойствами: 1° если точка Z принадлежит Df то и любой достаточно малый круг с центром в этой точке принадлежит D; 2° две любые точки Z1 и Z2 из В можно соединить непрерывной кривой 1\ состоящей из точек D.
Очевидно, что всякая замкнутая кривая у без кратных точек разбивает плоскость на две области; ту из них, которая содержит бесконечно* удалённую точку, мы будем называть областью внешней к у, а ту, которая не содержит бесконечно удалённой точки, мы будем называть областью внутренней к у.
Область D мы будем называть односвязной, если, какова бы ни была замкнутая линия у, принадлежащая Dj одна из областей, на которые она делит плоскость, принадлежит D. Если область D содержит хотя бы одну область, внешнюю к некоторому замкнутому контуру у, то D сама содержит бесконечно удалённую точку.
Назовём границей D совокупность таких точек плоскости, которые не принадлежат Df но в любой своей близости содержат точки D. Отметим несколько понятий, относящихся к границе области. Ради простоты изложения мы ограничимся в дальнейшем областями, граница которых состоит из конечного числа гладких дуг. Такие границы мы будем называть кусочно-гладкими. Точки у, в которых существует касательная, будем называть правильными.
Пусть D —- односвязная область с кусочно-гладкой границей у (рис. 1). Дадим нужную нам для дальнейшего классификацию точек у. Возьмём на у произвольную точку M (рис. 2, а) и соединим эту TOvKy с произвольной точкой N области D
1I Понятие непрерывной кривой также требует уточнения, на котором мы, однако, не останавливаемся.
28
г
а)
Рис. 2.
линией Г, лежащей целиком в Dtf возможны следующие случаи: 1) какова бы ни была линия Г', принадлежащая D и имеющая с Г общими лишь концы, область, ограниченная T и Г', принадлежит Z); такую точку мы будем называть простой точкой у; 2) существует п и только п дуг Г'=S= T1, Tif ... , Гп, принадлежащих Df с общими концами в точках M и N и таких, что каждая из областей, ограниченных T1, Г2; Г2, l\; ..Гп-і,Тп, содержит точки у (рис. 2, 6); такую точку M мы назовём п-к ратной точкой у (на рис. 1 точка В—двойная, точка С—тройная и т. д.). Каждую двойную точку границы мы будем рассматривать как две
различные точки у, соответственно принадлежащие двум различным сторонам куска у; каждую тройную точку как три различные точки и т. д.
Допустим, что у имеет конечную длину; фиксируем на у произвольную проетую точку А и примем её за начало отсчёта длин дуг у. Отправляясь от Af будем двигаться вдоль у в положительном направлении г) и обозначим через 5 прой-^ денный путь — число 5 —линейная координата—будет, очевидно, однозначно характеризовать положение точек на у, при этом двойная точка у получит две координаты Sf тройная точка —три координаты 5 и т.д. Если одна или несколько компонент у имеют бесконечные ветви, то линейную координату S можно ввести для каждой компоненты отдельно, считая её меняющейся ОТ -OO до Пусть z0—точка у п-й кратности, тогда эта точка обладает п линейными координатами sv s2,..., sn. Когда при положительном обходе у мы будем проходить через точку Sif одна из дуг Г будет оставаться слева; условимся обозначать эту дугу через Ti (на рис. 3 T1 = Az0Bf Г2 = Bz0Cf ...). Через {Ci} обозначим совокупность гладких дуг, принадлежащих!), с концами, совпадающими с концами IV, и таких, что область, внутренняя к Г,-4-Ciy принадлежит D.
Рис. 3.
1I Положительным направлением обхода границы области считается то, при котором область остаётся всё время слева.
29 15, Понятно конформного отображения. Пусть в плоскости хоу нам дана произвольная область D и в области D заданы две непрерывные функции:
