Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
Y
Эта формула даёт представление аналитической функции в любой точке области через значения этой функции на границе области
Приведём краткий вывод этой формулы. Функция
при фиксированном значении z есть функция аналитиче^ екая во всех точках t области D1 кроме точки t = z. Но в таком случае в силу (26), не меняя значения интеграла, контур у можно заменить окружностью с центром в точке Z произвольного радиуса г:
\t-z\ = r>
Вычислим интеграл
/ = ^ С Ж*.
2т J t — Z \t—z\=r
Для этой цели введём новую переменную ср, полагая
t —Z = re1*, dt == rie^dy,
тогда, вынося f(z), как величину, не зависящую от переменной интеграции, за знак интеграла, получим
О
Добавляя и вычитая к правой части (27) интеграл найдём:
I f-z|=r \t-s\ = r
Нам остаётся показать, что интеграл справа равен нулю. Но в силу дифференцируемости функции / выражение
[ '^t- /"I ограничено, пусть константой Ж, с другой стороны, длина контура интеграции равна 2тиг, следовательно,
'4 S ЩЕ^^КМт.
H--I-''
15 В силу произвольности г последнее неравенство моя^т иметь место только при равенстве нулю левой части. >
6. Интеграл Пуассона. Для случая, когда у рсть окружность
|*| = В,
из формулы Коши может быть выведена формула, выражающая значения аналитической функции f(z) в произвольной точке круга \z\ < R через значения её действительной части на окружности \z\ = R. Если f(z) аналитична при \z\<R и непрерывна при |z|<A, то при любом Z9 ' ZI < R имеем
2«
№ = ±\и (R, 0) M + „ (0)». (28)
0
Полагая Z = Tei* и разделяя в (28) слева и справа действительные и мнимые части, получаем формулы Пуассона:
z%
И *> - 5 S R2 — 2Дгсо~(у — 0) + г2 * ОR. ») <29)
о
в (г, ?) - , (О) -1 5 s^-^l^y^ и (В, ») Л, (30) 0
где іг (г, ср) и ?; (г, ср) суть действительная и мнимая части /(z), представленные как функции полярных координат г, ср (s =
Формула Пуассона (29) даёт для случая круга решение задачи Дирихле: определить в круге \z\< R гармоническую функцию и (г, ср), принимающую на его окружности заданные значения и (R1 ср).
Можно доказать следующее основное свойство интеграла Пуассона: какова бы ни была функция F (<р), непрерывная при 0<ср<2тг (F(2n) = F (O)), функция
u »>!- k S + F <¦>
о
1I Через V (0) мы обозначаем v (0, ?).
Ifi гармонична при г < Rt причём
IimU (г, 9) = F(cp).
Полагая в формне (29) г = 0>чмы получим теорему Гаусса:
о
значение гармонический функции в центре круга равно её среднему значению на окружности этого круга.
Из теоремы Гаусса вытекает следующее важное свойство гармонических функций: гармоническая функция, заданная в некоторой области, не может достигать своих наибольших и наименьших значений внутри области.
Покажем, что формула (30) при Oi раниченности ^
может быть использована не только при г < Ry но также при г = Д. Для этой цели применим формулу (30) к случаю, когда f(z)= 1; здесь и = 1, и = 0, и мы получим
275
1 С _дг sin (T-O)_ .A _ Л
2ти J Я2 - 2Rr cos (<р — 0) + г2 ~~ о
Отсюда заключаем, что формулу (30) можно переписать в следующем виде:
2%
/ \ /Л\ 1 С 2Дг sill («р— 0) «(г, у) - и (0) = ^W-2Дг CO8 (у - 0) + г' х
о
X[»(A,ft)-w(B,<p)]tfft. (30')
При г = R первый множитель под интегралом преобразуется к виду ctgу 2 ^ и при cp = o обращается в бесконечность первого порядка; предполагая ограниченной про-
OU (Д, §) -
изводную —^—- , мы убедимся в том, что подинтеграль-
ное деяражение непрерывно при г <В. Таким образом, в формуле (30') можно перейти к пределу при г— и мы получим
U (B14P) —V(O)= ^ 5 ctS Чг- <R> ~ * (*> ?)] <*»• (31) о
Конформные отображе ния 17 Полагая формально
2%
5 clg JL=Idb = O,
мы будем в дальнейшем формулу '(31) записывать в упрощённом виде:
2-п
V
(В, 9) —е(0 Ctgi7I в (Л, 8) rf» (зі')
и называть интеграл, входящий в неё, особым. Фактические вычисления по (31') надо вести или переходя к (31), или полагая по определению
2ТЗ
^ ctg Lzl „(Я, »)*{> = Hm { U + J } .
О e^0 0 є
Отметим ещё важное свойство особого интеграла: если функция и (t) на интервале 0 < t <(2тс удовлетворяет условиям
|и(01<е, 1»'(01<е> 1иЧ0Ке> (32)
то особый интеграл
/(9)=5 olg JLqla(t) dt
О
удовлетворяет условиям
I/(?)!< л/г, |/'(<p)j< ДГє, (320
где M — некоторая постоянная. Последовательно применяя формулу конечных приращений и теорему о среднем интегрального исчисления, полупим
7(9)=5 Ctg [И (0-»(?)] dl =
о
ctg -tili (t - 9) и' [9 + О (t - ср) Idi = a JJ (I- 9) Clg dt, о о
где в силу неравенств (32) ,Sj <s; так как интеграл
Vtu
^ (t — 9) ctg ^jl dt абсолютно сходится, то первое из нера-о
18 верств докапано. Дифференцированием по параметру
доЛучим
a (ср) — и' (у) sin (t — у)
2т:
и (О
О
dt.
Заменяя sin (t — 9) = (^-?) —— ?)3 А (0? гДе ^ (О"" непрерывная функция, и применяя формулу конечных приращений, мы представляем числитель подинтеї ральной функции в виде
(и' [9 + G (/ - <р)| - Zi' (?)) (* - ?) + и' (9) h (0 (* - 9)а,
