Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
Комплексное число равно нулю, если равен нулю его модуль, т. е. его действительная и мнимая части. Два комплексные числа Z1 и Z2 равны (Z1 = z2), если равны их действительные и мнимые части.
7 Комплексные числа Z1 и Z2 называются сопряжёнными (z = z2), если их действительные части равны, а мнимые отличаются лишь знаком.
Сложение и вычитание комплексных чисел определяется по правилу сложения и вычитания векторов; пусть
zX = xI + iVv z* = х2 + iVг »
тогда
Z1 ± z2 = (X1 ± х2) + і (yt ± Ij2). (5)
Произведением двух комплексных чисел Z1 и Z2 называется число
Z1 . Z2 = (X1X2 - уху2) + і (хху2 + X2IJ1). (6)
Деление определяется, как операция, обратная умножению. Деление всегда возможно, если знаменатель не обращается в нуль.
Очевидно
I * А I = І «і 11Z11 ,
arg (Z1 • z2) -arg Z1 + arg z2,
-I
— I-SiT
(7)
arg = arg z2 —arg Z1. zi
Нетрудно показать, что при принятых определениях операций комплексные числа подчиняются всем законам алгебры, следовательно, к комплексным числам применимы все алгебраические преобразования.
2. Функции комплексного переменного. Пусть каждому значению комплексного числа z = x + iy, принадлежащему области D, расположенной в z-плоскости, соответствует значение комплексного числа w = u-\-iv. В этом случае мы скажем, что w есть функция z, w = f(z); число Z назовём независимым переменным, область D — областью задания f(z).
Так как, согласно определению функции, каждой паре чисел X, у отвечает вполне определённая пара чисел и и и (действительная и мнимая части w), то задание функции комплексного переменного эквивалентно заданию двух дей-. ствительных функций от двух действительных аргументов:
и = и(х, у), V = V (х, у), f (z) = U (Xj у) + IV (X9 у). (8) Приведём несколько примеров функций комплексного переменного.
1°. Линейная функция определяется равенством
w = az+bb (9)
где а и b суть произвольные комплексные числа: a = a1 + iaa, Ъ ==?i + ^2- Отделяя справа действительные и мнимые части, получим
K = CC1S-CCe^P1, (9')
и=а %х + ягу + $%.
2°. Степенная функция
W = Zk1 (10)
где А— произвольное действительное число. При к целом функция Zk определяется однозначным образом операцией умножения, причём, вводя модули и аргументы
Z= Г (cos 9 4- І sin <р), W = P (cos ф + і sin ф),
получим
P = rk, <1> = fop, w = rk (cos Zc<p + і sin &<p). (10')
Заметим, что когда точка z описывает замкнутый контур С, охватывающий точку Z = 0, аргумент <р пслучает приращение если обход совершается против часовой стрелки, и — 2т: при обратном обходе; при этом, согласно (IOr), аргумент ф получит приращение ±2Аж — точка w обойдёт точку w = 0 к раз.
При к произвольном действительном функцию Zh определяем посредством соотношений (IOr). При к нецелом функция Zh многозначна1 — точке z{arg z = <p+2wr) по (10') отвечают следующие точки:
Wn = Pn (cos % f ^sin фп),
Pn = = +
лежащие на окружности | w | = г*. 3°. Показательная функция
IV = e2 = QxjTiV (11)
1J Более подробно па вопросе многозначности мы остановимся
P гл. II.
9 определяется следующими соотношениями:
р==е*' 1 (Ii')
W = ех (cos у + і sin у). J
При таком определении показательной функции мы сохраняем свойства этой функции, известные для случая действительного показателя
e*i . eZa = eZl+Za,
(e2)k = ek2.
Показательная функция определена и однозначна для всех z. При любом целом п имеем е2"+2птег' = е2, т. е. е2 имеет мнимый период 2т. Используя показательную функцию, мы получаем простое представление комплексного числа z через его модуль г и аргумент <р
z = rei(9. (12)
4°. Логарифмическая функция определяется соотношениями
и = 1пг, и = <р, I 13)
w = In z = In г+ i<p = In [z|-f *argz. J
Тогда, очевидно, elnz = z~ логарифмическая функция обратна показательной. Так как аргумент числа z бескбнечнозна-чен, то и Inz бесконечнозначен; если W0- одно из его* значений, то все остальные определятся по формуле Wn = + 2тт. Когда точка z обходит начало координат, мнимая часть In z получает приращение +
5°. Тригонометрические и гиперболические функции определяются через показательную:
е*я — е~і% еіз + Є~іг . sin 2
Sin Z =-—-, COS Z =-s- , tg Z=--,
h 1 2 7 0 COS 2
, e* — e~s , ez + e~* Sh 2
shz =-5-, chz =---, tb.Z=-T-.
2 5 2 ' ch z
(14)
На определённые таким образом в комплексной плоскости тригонометрические и гиперболические функции распространяются все формальные тригонометрические преобразования и соотношения.
3. Дифференцируемость и аналитичность. Пусть функция^
w = f{z)
определена в области D и Z0 точка D. Мы скажем, что
Ю при z, стремящемся к Z0(Z-^Z0)1 функция f(z) имеет своим пределом число А:
lim /(z) = А, (15)
Z-+ZO
если для любого г найдётся такое что коль скоро
12-?! < yI* 0J то
\A-f(z) |<®. Функция непрерывна в точке z0, если lim f(z) = f(z0).
Z—>Zq
Функция непрерывна в области Z), если она непрерывна в каждой точке D.
. Функция f(z) называется дифференцируемой в точке Z0 (обладающей производной в точке z0), если существует конечное число А такое, что
