Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лаврентьев М.А. -> "Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики" -> 8

Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.

Лаврентьев М.А. Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики — М.: ОГИЗ, 1946. — 157 c.
Скачать (прямая ссылка): konformotobragenie1946.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 43 >> Следующая


и = и(х,у), V = V(Xjy)i Ї

W = f(z) = ll(x, y) + iv(x, у).) (1)

В силу (1) каждой точке (х, у) области D соответствует вполне определённая точка (и, v) плоскості! uov. Совокупность А всех точек и, Vj соответствующих всем возможным точкам области Z), мы будем называть образом области D в плоскости (Uj и). Мы будем также говорить,- что система (1) отображает/) на Д. Отображение называется однолистным, если две различные точки D всегда переходят в две различные точки Л.

Нетрудно установить следующее предложение: если отображение области D па A odnoducmnoj то 1) А есть область, 2) каждой точке (и, v) в А соответствует единственная точка области D1 причём функции

X = X (и, V) J у = у (и J v); 1 z = ?(w) = x(Uj v) + iy(u} V)) (2)

непрерывны в области А — отображение (2), обратное отображению (1), однолистно и непрерывно отображает А на D.

В самом деле, пусть (w0, v0):

U0 = и (х0, у0), v0 = v (x0f ус)

есть произвольная точка А; построим в D круг радиуса г с центром в точке (x0j y0)-j при гJ достаточно малом, этот круг принадлежит Dj а его окружность Cr переходит (при нашем отображении) в некоторую линию Гг, принадлежащую А. В силу однолистности отображения I1r является замкнутым контуром без кратных точек; при г—> О окружность Cr итягивается в точку (х0, ?/0), но тогда, в силу непрерывности отображения, I1r будет также стягиваться в точку, которой может быть только точка v0). При г достаточно малом область, ограниченная I1r, будет входить в А и содержать (и0 и0); так как точка (и0, v0) взята произвольно, то отсюда заключаем, что А есть область. Перейдём к доказательству 2); Однозначность обратного отображения (2) следует непосредственно из определения однолистности; нам остаётся доказать его непрерывность.

Но сколь бы мало ни было число г, контур I1r, охватывающий то1,ку (и0 V0), будет находиться на конечном рас-

30 стоянии от отой точкиj следовательно, всем точкам, бесконечно близким к ^0), будут соответствовать точки бесконечно близкие к точке (xQ, ?/0), то-есть функция (2) непрерывна в любой точке (и0, и0) области Л.

Мы скажем, что однолистное отображение w = f (^сохраняет ориентацию, если при обходе любого замкнутого контура в плоскости z в положительном направлении его образ также проходится в положительном направлении.

Простейшим примером однолистного отображения является линейное преобразование

где Ct1, ... , с2 суть заданные числа. Отметим основные свойства преобразования (3). Нетрудно показать, что условие сохранения ориентации преобразованием T выражается условием положительности определителя

преобразования с отрицательным определителем меняют ориентацию.

Отображение T преобразует всю плоскость хоу в плоскость UOv, причём пучок параллельных прямых с угловым коэффициентом к = tg 9 преобразуется в пучок параллельных прямых с угловым коэффициентом

Пусть {х0, у0) и (u0,v0) — пара соответствующих точек; преобразование (3) можно представить в виде:

Определим в плоскости UOV образ окружности радиуса г с центром в точке (х0, у0):

(3)

A= aiIl >0;

яо 6., '

U-U0 = at (X - х0) + Ь1 (у - уй), V-Vt = O2 (X-X9) + (у-у0).

(3')

(х-хяу + (у-улу = г\

(4)

31 Разрешая (3') относительно х — х0 и y — yoi ^-^0 = ? (* — u9)-b?(v-v9), У-Уо = ^ (u-~u0)-^(v-v0),

и подставляя полученные выражения в (4), получим уравнение образа

(а\ + Ь\) (и - U0)2 - 2 (аха2 + bxb2) (и - и0) (v — v0) +

+ (a\ + bl)(v-voy = ti*r\ (5)

Уравнение (5) есть уравнение эллипса с центром в точке (и0, V0). Поставим вопрос: каким условиям должны удовлетворять коэффициенты преобразования T для того, чтобы оно переводило круги в круги? Необходимыми и достаточными условиями этого являются, очевидно, соотношения

я A + M2 = 0, а\ + Ы = а\ + ь\. (6)

Первое из них даёт — = — ^=X, откуда Ci1 = Ib1, 62=—Xa2, и по подстановке во второе получим Ь\ — а\. Если

то первое уравнение (6) даёт

но тогда a = a1b2 — a2b1=—al—al<.0, что соответствует отображениям, меняющим ориентацию. Для отображений, сохраняющих ориентацию, наши условия имеют, следовательно, вид:

bl= — Ь2 = а1,

а =

Пользуясь условиями (7), можно положить

G1= 62 = Д cos a, O2 = —Ьг — A sin а и ваписать (3) в виде:

и = Д [(ж — X0) cos а + (у — у о) sin а] + C1, и в Д [ —. (х — х0) sin а + (у — у0) cos а] ф С%.

32

(7)

J (8) Из (8) видно, что отображение T9 удовлетворяющее условиям (7), является ортогональным преобразованием — оно сводится к сдвигу плоскости на вектор C1 +IC29 повороту на угол а и подобному растяжению с коэффициентом Д.

К тем же условиям (7) мы придём, если потребуем, чтобы угол поворота 6 —ср любого луча не зависел от угла <р.

Вернёмся к общему случаю однолистного отображения (1) области D на область Д. Допустим дополнительно, что функции и(х9у) и V (х, у) в каждой точке D обладают конечными и непрерывными частными производными по X и у. Рассмотрим произвольную пару соответствующих точек (X09 у0) и (B0-Po); (U0 = U(X0, Voh vo = v(xo> Уо))-Согласно определению полного дифференциала, приращения функций w—u0, v — vQ можно представить в виде
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 43 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed