Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
применяя вторично эту формулу, представим его в виде
И" [? + G1C- ?)] е (*- ср)2 + в' (ср) h (I) (t - 9)3;
пользуясь, наконец, теоремой о среднем интегрального исчисления, получим
Г (9) = 8, J
о Sin
2 Lu ?
¦dt
h(t)(t-<?)*
о Sin-
t-
dt,
где в силу неравенств (32) I Si | < е и |82|<є. Интегралы в последней форхмуле сходятся абсолютно и это полностью доказывает второе неравенство (32')
7. Высшие производные, ряд Тейлора. Правая часть (27) допускает последовательное дифференцирование по z. Отсюда заключаем, что аналитическая в области D функция обладает в D производными любого порядка и что все эти производные суть также функции аналитические в D:
1
T
1 . '2 Г
(33)
в этих формулах у означает произвольный замкнутый гладкий контур, лежащий в D.
19 Установим теперь следующую формулу Тейлора. Пусть г и Z + А — две произвольные точки области D; имеем
f(z + h) = f(z) + hf'(z) + ±hr(z) +
±...+±h»fm(z) + Rn-и, (34)
где
7? _ ^l1 f / СО
1X11 + 1 ~~ 2ТГІ J (* - + 1 (?-2 - h) '
T
В самом деле, по формуле геометрической прогрессии
_!_=_1___= JL Jiji-JL-+ +
_!_ , 1 1 ^ ' ' ' ^r (t — z)n Ґ (t — 2)» (t — Z— h) J •
Умножая правую и левую части этого соотношения на / (г), интегрируя по у и используя формулу Коши (27) и выражения для производных (33), мы придём к нужной формуле (34).
Заменяя Z на z0, a z-\-h на z, формуле (34) можно придать вид
/(*) = / (Zo) + Г (Z0) (z - Z0) + ... + ^^ (z -Z0)- +
і (Z-Sp)"*1 С f(t)dt ,,
T
Оценим модуль остаточного члена RllJrі в предположении, что у есть окружность радиуса R с центром в точке z0. Пусть
а на окружности | z — Zj | = ?, | / (z) | < Af; тогда
, ^ гп+1 Л? » 2ти м /гу+1
I ^"5Г (Л - г) - R ~> I4S"У
Отсюда заключаем, что ряд
/Wr/ + /'<*.)(*-*.)+••• + j^p4* (* - *о)1п + .. • (35)
равномерно сходится к f(z) во всяком круге радиуоа, меньшею R.
Этот ряд называется рядом Тейлора функции / (z) с центром в точке Z0.
20 8. Нуль и полюс. Пусть f(z) аналогична в области D. Точку Z0 области D мы назовём нулс5м кратности к функции / (z), если в этой точке обращается в нуль сама функция и её первые ft— І производных и если ft-я производная отлична от нуля. Согласно формуле (35), если Z0 есть нуль кратности ft, то
В силу (35) функция, не равная тождественно нулю, не может обладать нулём бесконечной кратности —из обращения в нуль в точке Z0 функции и всех её производных следует, что функция равна нулю тождественно.
Пусть теперь функция / (z) аналитична в D, кроме точки Z0. Мы скажем, что Z0 есть полюс кратности к функции /(z), если функция
f^= 7^)=0
имеет в точке Z0 нуль кратности ft. В силу (35') вблизи точки Z0- полюса кратности ft функции /(z) —имеем
где-^я) аналитична в точке Z0 и её окрестности.
9. Поведение в бесконечности. В ряде случаев бывает существенно характеризовать поведение функции при неограниченном возрастании аргумента. Будем рассматривать однозначные функции /(z), аналитические при всех достаточно больших значениях \z\:
IzI > В.
При этих условиях очевидно, что функция
т)
аналитична во всех точках круга \z \ < ^ , кроме, быть
может, точки Z = 0. Мы скажем, что f(z) аналитична или регулярна в бесконечности (в точке Z= оо), если сущест-
21 вует предел
lim f(z) = Iim F (z) = А
2—» OO 2—» О
и если функция F (z), F(O) = A регулярна в точке Z = O1).
Пользуясь этим определением, мы получаем, что для функций, регулярных в бесконечности, для достаточно больших значений \z \ имеет место разложение
/(*)=«„+7+3+.•.+¦?+... - (36)
Мы скажем, что f(z) имеет в точке оо нуль кратности А, если функция F (z) имеет в точке Z = 0 нуль кратности к. Из (36) следует, что если f(z) имеет в бесконечности нуль кратности то при|2|>Д она может быть представлена в виде
/(2)=3+??+...+?+... (36')
Функция f(z) имеет В точке Z=OO полюс порядка А, если F (z) имеет в точке Z = O полюс порядка к; в этом случае имеем
/ (Z) = ClkZk + QhJi-1 + . ¦ . + «1* + «о + T + • • • =
= Wh + я*-/"1 + • • • + «1* ¦+ ? (*) > (36")
где <p(z) регулярна в то^ке z = oo.
10. Принцип максимума и лемма Шварца. Пусть функция /(z) аналитична в области Z); тогда функция
ln/(z) = ln!/(z)! + .'arg/(z)
будет аналитичной во всех точках/), где /(z)=?0. Следовательно, гармоническая функция u = ln \ f (z) \ будет регулярна всюду вне нулей /(z), причём в нулях f(z) функция и обращается в — оо. Но тогда в силу теоремы Гаусса lnl/(z)| не может достигать своего наибольшего значения нив одной внутренней точке D. Мы получаем следующую теорему: Модуль функции, аналитической в области D и не равной постоянной, не может достигать своего максимума во внутренних точках D.
О Можно доказать, что из условия , / (z) | < [з Iv (v<l), при всех достаточно больших z, следует аналитичность / (z) в точке 2=00.
22 Из этого принципа максимума легко вывести следующую лемму Шварца:
Пусть f(z) аналитична в круге jz| < 1 и удовлетворяет условиям
/(0) = 0, |/(Z)|< 1,
