Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
И-Ио X0)+ ^y (У-Уої + ^Г,
где производные берутся: в точке (х0, y0), a S1 и є2 стремятся к нулю вместе сг==]/(х — хоу + (у — у0)2. Отсюда заключаем, что любое отображение (1) в бесконечно малой окрестности любой точки отображаемой области с точностью до бесконечно малых высших порядков есть линейное преобразование;. коэффициенты этого линейного преобразования равны значениям частных производных в рассматриваемой точке. Преобразование
dv . , , dv. , I (9)
называется главной линейной частью преобразования (1) в окрестности точки (х09 у0).
Однолистное отображение области D на область Д называется конформным, если в окрестности любой точки D главная линейная часть преобразования есть ортогональное преобразование, сохраняющее ориентацию.
Конформные отображения
33 Из данного определения непосредственно следуют два основные свойства конформных отображений:
1. Пусть при конформном отображении w==f(z) области D на область Д круг' z — z9\ — г переходит в линию Гг; проведём через произвольную точку Fr окружность j W — W0 J == р с центром в ,точке W0 = / (z0), тогда при бесконечно малых г Ji р расстояние от произвольной точки Гг до окружно-
малых высших порядпов также в круг (круго-* вое свойство)
2. Пусть при конформном отображении w = f(z) две гладкие линии J1 и у2> выходящие из точки Z0, переходят в линии T1 и Г2, тогда угол между T1 и I12 равен углу между Y1 и у2 (свойство консерватизма углов) (рис. 4).
16, Уравнения Боши-Рямана, Из определения конформного отображения и условий (7) ортогональности линейного преобразования мы непосредственно получаем условия, которым должны удовлетворять функции и(х, у), v(x, у), осуществляющие однолистное отображение D на Д, для того чтобы это отображение было конформным:
Уравнения (10) суть уравнения Коши-Римана (см. п. 3). Эти уравнения эквивалентны условию дифференцируемости или аналитичности функции комплексного переменного. Сравнивая формулы (8) и (10), нетрудно получить наглядную геометрическую интерпретацию производной /' (z). Имеем:
сти I W ~ W0 I =р будет бесконечно малой высшего порядка сравнительна с г и р. Таким образом, при конформном отображении бесконечно малый круг переходит с точностью до
du_dv
дх ду '
(10)
Oy~~ дх1 \дх) >U'
34 следовательно,
і/'.«і=/(Й)*+(Й)'=а. і
dv
arg f (2) = arctg|^ = a
(И)
выражают коэффициент растяжения и угол поворота отображения (9) — главной линейной части отображения wz=zf(z). Можно говорить также, что модуль производной, I /' (zo) I ? Paeeu коэффициенту растяжения отображения w = f(z) в точке Z05 аргумент производной, arg/'(z0), равен углу поворота при этом отображении.
Эквивалентность при | /' (2) | > 0 условий конформности аналитичности приводит нас к следующему заключению, и Конформное отображение области D на область Л всегда осуществляется аналитической функцией; если функция w = f(z) аналитична, однолистна и | /' (z) | > 0 в области D9 то эта функция осуществляет конформное отображение области D на некоторую область Д плоскости w 1J.
17. Сложное и обратное отображение. Рассмотрим три комплексных плоскости W9 пусть в каждой
из плоскостей нам дано по области D19 Д и D2 и пусть мы имеем конформные отображения
С = / (Z)
области D1 на Д и
W = ср (С)
области Д на D2 (рис. 5).
Из наличия соответствий между D1 и Д, с одной стороны, и между D2 и Д, о другой стороны, вытекает наличие соответствия w = F (z) между D1TiD2.
Рис. 5.
1I Используя разложение / (z) в ряд Тейлора, нетрудно пока-
зать, что если P(Z0) = 0, то в окрестности точки Z0 отображение не однолистно. Таким образом, в условиях последнего утверждения условие I /'(з)|>0 можно исключить. Отметим сейчас же, что из условия I /' (2) I > 0 в каждой точке D не следует однолистность f (z) в D, в самом деле, для функции, w = z3 в области 0 < r0 < | z j< г
имеем = 3 |s|2>0, а вместе с тем эта функция в рассматриваемой области не однолистна.
35 Функция w = F(z) может быть, очевидно, представлена как сложная функция, составленная из / и ср:
F (г)-=*[/(«)].
Сложная функция F аналитична вместе с / и ср и даёт конформное отображение области .D1 на область D2. Растяжение и поворот при отображении D1 на D2 определяются по правилам дифференцирования сложной функции:
\F'(z)\ = \?'(q\f'(z)\, C==Z(Z), I (12) arg Ff (z) = arg (С) + arg /'(*). J
Вернёмся к простейшему случаю; пусть w = f(z) даёт конформное отображение области D
на область А; функция 2Г=ср (w), ?[/(*>]=*,
обратная W = /(z), реализует отображение А на D, обратное / рис б (рис. 6). Дифференцируя последнее
соотношение, получим растяжение и поворот обратного отображения:
= 1 W = f (z). (13)
argepf(w)= — arg f (z). J
Полученные выражения для модуля и аргумента производной сложной и обратной функции непосредственно вытекают из геометрического смысла последних.
18. Конформные отображения бесконечных областей. В данном выше определении конформного отображения мы предполагали, что каждая из отображённых областей не содержит бесконечно удалённой точки.
