Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
w = fx(z)y w = f2(z),
/1 Ы = U (?) = Wo, arg fx (Z0) = argI2 (Z0) = ср0.
і
Отобразим конформно с помощью
z = <p(Z), <p(0) = z0, ?'(0)>0
39 круг |Zj<l на область D9 а область Д отобразим с помощью
W = ф (W), ф (w0) - О, arg ф' (W0) = — ср0
на круг IWI < 1. Но тогда мы получим две различные функции:
W = F1(Z) = ^{f1[9(Z)]}) W = F2(Z) = ^if2 [?&)]}, F1(O) = F2(O) = O9 argF1 (0) = argFft(O) = Of (14)
дающие конформное отображение круга \Z\< i на круг |W|<1 при условиях (14); в силу рассмотренного выше простейшего случая F1(Z)-F2(Z)-=Z9 следовательно, Z1(^) = Z2(Z); теорема единственности полностью доказана.
21. Связь с задачей Дирихле. Для различных приложений полезно выяснить связь поставленной выше задачи конформных отображений с задачей Дирихле теории гармонических функций. Пусть функция
"' = /(2), /(Z0) = O, Г (Zt) > О
даёт конформное отображение области D с границей у на единичный круг |w|<l. Так как по условию f (z0)>0 и Z (z0) = 0, то функция
F(Z) = ^-, F(Zt)^f(Z0)
будет правильна в D и в силу однолистности f(z) не будет иметь в D нулей. Отсюда заключаем, что гармоническая функция
Р(*,у) = Ы*(2)| = 1п J^L (Ib1)
Z- Z0
правильна в области D. Обозначая через Q функцию, сопряжённую с P9
<?=arg a^l + C (Є(*.,у,) = 0), (15.)
Z—Z0
мы в силу (Ib1) и (152) можем представить функцию f(z) в следующем виде:
/ (г) = (Z-z0)eP+«5. (16)
G другой стороны, когда z описывает у, точка w = f(z) описывает окружность \w\ = l9 следовательно, в точках у
40 имеем
I/(*) 1 = 1-
Отсюда, обозначая через г расстояние от произвольной точки у до Z07 заключаем, что і армоническая функция P(xfy) принимает на у значения —In г.
Обратно, пусть известна і армоническая функция P (х, у), принимающая на границе D значения — Inr; найдём сопряженную ей гармоническую функцию
подобрав постоянную С так, чтобы Q(x0f yQ) = 0, и построим функцию f(z) по формуле (16). По теореме п. 20 существует функция w = <р (z) (ср (z0) = Of <р' (z0)>0), реализующая конформное отображение D на единичный круг; по доказанному
выше P(xf у) = In ^jj на границей) совпадает с P(xfy);
из принципа максимума и минимума для гармонических функций получим, что P (xf y) = P(xfy) в D. Но тогда, в силу нашей нормировки Q(xf y) = Q(xf у) и /(z) = cp (z), то-есть f(z) реализует нужное отображение.
Таким образом, задача конформного отображения области D на единичный круг эквивалентна задаче построения: 1) гармонической функции Р, правильной в D и принимающей на границе D значения —In г, и 2) гармонической функции Qf сопряжённой к Р.
Так как определение Q по P сводится к простому интегрированию, то задача конформного отображения фактически сводится к задаче Дирихле —построению гармонической функции по её значениям на границе.
Еще более простую редукцию к задаче Дирихле мы получим, если рассмотрим функцию
W = f (Z),
дающую конформное отображение области D на полосу 0<lm Пусть при рассматриваемом отображении пря-
мая* Im W=O соответствует части Y1 границы Jf а прямая Imw = A-части Ya границы j. В таком случае гармоническая функция
Imf (z) = v (xf y)f
правильная в Df должна на Yt равняться нулю, а на Y2-единице. Задача конформного отображения опять сводится К вадаче Дирихле.
Al ГЛАВА Il
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ПРОСТЕЙШИХ ОБЛАСТЕЙ
22. Дробно-линейные преобразования и их свойства.
Дробно-линейным преобразованием называется преобразование вида
"=??- (17)
A =
a. bo
Ф 0, (170
где Cti и Ьг—заданные комплексные числа.
Если определитель Д преобразования обращается в нуль, то коэффициенты btvia2) S2 пропорциональны и функция (17) вырождается в постоянную; по этой причине во всём дальнейшем мы будем считать условие (17') выполненным.
Функция (17) определена и аналитична во всей z-пло-скости, кроме точки
а2 '
где она имеет простой полюс. Уравнение(17) при условии (17') однозначно разрешимо относительно z
T-1; г== ¦
CL2W—U1 7
следовательно, преобразование, обратное дробно-линейному,' есть также дробно-линейное; преобразование ~ (17) даёт однолистное отображение всей z-плоскости на всю w-шю-скость.
Сочетая два последовательные отображения: у . Z = a^z
CL2Z + bj, T • W — *lZ +
мы получим отображение (Т = T1XT2) всей z-плоскости
A%z-\-Bz 9
42 где .
A1 = ^a1 + а2рА, B1 = O1CL1 + Ъ J1, A2 = Ci1Z2 + Ct2^2, S2 = bLoс2 + 62?2,
гтакже дробно-линейное.
Изучение дальнейших свойств дробно-линейных преобразований мы начнём с рассмотрения двух простейших случаев.
1°. Случай а2 = 0. Отображение (17) есть отображение вида
w = Az + B, А = В = (18)
2 U2,
Фуйкция (18) осуществляет ортогональное линейное преобразование z-плоскости на ^-плоскость. В самом деле, разделяя в (18) действительные и мнимые части, получим
и = аяа? + ахг/ + ра,
где A = CL1 + І&21 В = P1 + К тому же выводу можно прит-ти непосредственно, если положить A = re™—.переход от ^-плоскости к ^-плоскости сводится к подобному преобразованию с коэффициентом подобия г, повороту на угол а и поступательному сдвигу на Bt 2°. Случай U1= Ь2 = 0, а2 = Ьг
