Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лаврентьев М.А. -> "Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики" -> 15

Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.

Лаврентьев М.А. Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики — М.: ОГИЗ, 1946. — 157 c.
Скачать (прямая ссылка): konformotobragenie1946.djvu
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 43 >> Следующая


6 = ос<р (0 < 9

В нашем случае Ф(Е) = тг, следовательно, в силу (29') для однолистности отображения необходимо и достаточно, чтобы

О < a < 2.

При этом условии функция (29) даёт конформное отображение полуплоскости на угол со сторонами 6 = 0 и 6 = атс (0 < 6 < air); лучи <р = const преобразуются в лу-

(29J

53 ЯИ 6 = Occp5 & окружности Г = COlist в окружности (рис. 14).

При мы получим отображение полуплоскости на

прямой угол, при а = 2 мы получим отображение полуплоскости на область, получаемую удалением из пло-

Рис. 14.

скости w положительной части действительной оси (рис. 15).

Отметим поведение имеем

dw dz

в окрестности точки z =

dw

== ага~1.

dw

dz dw

Ш

стремится стремится

Таким образом, если а>1, то при r—>О к нулю, как Tcf"1, если а<1, то при r—> О в бесконечность, как—.

Если за область D принять угол 0 < ср < , ~ < \

а> у, то условие однолистности (29') имеет место, и сте-

Рис. 15.

пенная функция Za реализует конформное отображение угла D на полуплоскость v > 0. 29. Показательная и логарифмическая функции. Начнём с показательной функции

<*> = ez. (30)

Эта функция правильна и однозначна во всей конечной z-плоскости и имеет один чисто мнимый период 2ш

?Z+'ZklZi — ?Z^

Для изучения отображений, осуществляемых показательной функцией, целесообразно ввести в су-плоскости полярные координаты риб, тогда (30) можно представить в виде

рег'9 = ex+iv>

или

P == I

(30J

> = I ^У . J

Из представления (30х) непосредственно вытекает уело-, вие, которому должна, удовлетворять облаоть D, для того чтобы в этой области функция ег была однолистной: область D не должна содержать двух точек с одинаковыми абсциссами и с ординатами, отличающимися на величину, кратную 2тг. Простейшей областью, удовлетворяющей этому условию, будет полоса

0<у <2тг.

Согласно (30х) показательная функция (30) даёт конформное отображение этой полооы на. лучевую область

0 < 6 < 2тг.

При этом все прямые у = const переходят в лучи S = COnst, а прямые ж = const* в окружности р-const (рис. 16). Гра-

2ц Zz

Л

TTVTrrrrr^

О 2

Рис. 16.

ничные точки полосы Z1 = X и Z2=X + 2ш с одинаковой абсциссой обе переходят в двойную точку границы w = ex =

55 = ^2ni, которую можно рассматривать как две точки, принадлежащие двум сторонам разреза.

Та же функция даёт конформное отображение полосы

0<2/О

на верхнюю полуплоскость. Если точка z = x-\-iy полосы неограниченно удаляется влево, х—> — оо, то соответствующая точка w стремится к нулю, а при х—>+ оо, I W I = ех—> со.

Соответствие между точками границы полосы 0 < у < тс и между точками действительной оси осуществляется функциями

и = ех при у = О, U = —ех при у = 1С.

Логарифмическая функция, обратная показательной,

w = \nz (31)

бесконечнозначна. Полагая Z = Tei^j записываем соотношение (31) в виде

U = InT9

V = Ср -f- 2&7Г,

где к — любое целое число. Если область D не содержит начала координат, то логарифмическая функция распадается в D на бесконечное множество однозначных ветвей. Из (31г) непосредственно видно, что каждая ветвь однолистна в D. Если за D принять верхнюю полуплоскость, то любая ветвь функции w = \nz даёт конформное отображение D на полооу ширины тс. В частности, ветвь, которая положительную часть оси X переводит в ось U9 отобразит D на полосу 0 < V < тс (см. рис. 16, переменив в нём роли Z и w).

30. Тригонометрические и гиперболические функции.

Тригонометрические и гиперболические функции представляют собой простые комбинации показательных, поэтому отображения, которые они реализуют, легко получить из результатов предыдущего пункта. Рассмотрим некоторые из таких отображений. Функция

(32)

правильна и однозначна во всей конечной z-плоскости,

(31,)

W = 91П Z = -

П

f>6 Отделяя в (32) действительную и мнимую части, получим

и = sin X = Ch у sin х> |

V = Y (eV — ^ cos я = shy cosa;. I

(32,)

Из (32j) видно, что функция W = sin z имеет действительный период sin (z-f 2кк) = sinz, следовательно, можно ограничиться её изучением в полосе —тг < х < тт. Функция неоднолистна в этой полосе, ибо имеют место тождества:

»(д—у) =B (-J + *'

+ ""О''

область однолистности (32) не должна содержать никакой

¦Ш

W

Рис. 17.

пары точек типа г/^, — . В частно-

сти, (32) однолистна в полосе

или в полуполосе

7Г 7Г

2'

— К<х<п, у >0.

Отображения этих областей показаны на рис. 17 и 18; первая из них отображается на плоскость w с исключён-

57 йыми лучами — оо < ? < — 1; 1 < # < оо;' вторая — на ту же плоскость с исключёнными отрезком — 1 < X < 1 и лучом — оо < у < 0; прямым у = const соответствуют дуги софо-кусных эллипсов (с фокусами в точках W = — 1; W= +1),

Ui V2

ch*y + Sh= ^' прямым X = const — дуги софокусных гипер-

бол (о теми же фокусами),

и*



Функция

sill2 X

COSj X

- = 1.

1 eil

W = IgZ = -T-T

° 7. -Ji

+ е-

(33)

регулярна в конечной z-плоскости всюду, кроме точек zA = (2ft + l)-|- (в которых она имеет полюсы первого по-
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 43 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed