Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
F(z) = kz + azz2 + .. . = z(k + a2z+ . ..), А>0.
Возвращаясь к функции /(я), получим
а а а
/ (z) = е«[F (z)p = + a2z + ... )«". (36)
Таким образом, в окрестности точки z = 0, соотьетстьую-щей угловой точке границы, конформное отображение можно представить, как произведение двух множителей, из ко-
4 торых один — Ziz — многозначен, а другой распадается на конечное или бесконе1 ное число однозначных ветвей.
Имея в виду дальнейшие гриложения, найдём ещё структуру логарифмической производной от /' (z) в окрестности z = 0. Имеем
= + . . .)^"1 (A + 2aaz+. . .),
ln/'(z) = lu?+i6+(?-l)lnz +
+ 0 ln(ft + a2z+- • .) + ln(?+2a2z+ . . .).
После дифференцирования последнего соотношения получим
--1
где Ф (z) есть функция правильная и однозначная в окрест-
і" iz)
ности точки z = 0. Таким образом, имеет в точке z = 0
/ \zi
простой полюо о вычетом — — 1.
те
5 Конформные отображения 65 Зё. Отображение полуплоскости на многоугольник.
Используя теорему существования и отмеченное выше поведение конформного отображения в угловых точках, нетрудно получать в замкнутой форме ві ражение для функции, реалі зующей конфор^ ное отображение полуплоскости на многоугольник.
Начнём с простейшего случая, когда данный многоугольник ограничен.
Обозначим через D (wQ1 6, Ijl а7) о^носвязную область, ограниченную п і рямолкнейнь ми отрезками длин Z1, /2,. .
отрезок I1 имеет вершгну в точке W0 и наклонён под углом 6 к оси и: отрезок Ij-1 образует с от-
Ini причём
41_4? ft /? л5 Ah
7гу?//////////// >'. -
резком Ij (I0 = In) угол TCCHjf 0< а;-<2. Отсчёт углов условимся вести следующим образом: при пдложи-тельном обходе D за отрезком Ij-і следует отрезок Ij; tKOLj есть угол, на который нужно повернуть, вращая против часовой стрелки, отрезок Ij до его совпадения с отрезком
Tl
/,_!(2 а, = и — 2) (рис. 24).
/« і
Формула Кристофеля-Шварца. Функция w = F (z), которая реализует конформное отображение верхней полуплоскости у > 0 на область D(w0, 0, /у, а7), переводящее точки я = 0,#=1ия = 2, соответственно, в пер-вую, вторую и п-ую угловые точки, имеет следующий вид:
Рис. 24.
F (z) = Ce<* ^ (S^a1)*!-1 (2-а2)*2-і .. e {z-a^n-idz + Zv (38)
где a}=Q, а2 = I1 а3, а4, . . . , Onrei, = 2, суть действительные положительные числа, определённые из системы уравнений:
Л
С ^ Ія-^І'і-1!*-*,!*1-1 .. . J я?-ап I^-Irfx = //. (38')(
aJ
/ = 1,2, ..., л — 1.
бб Доказательство. Согласно теореме существования и единственности функция W==F(Z)1 осуществляющая отображение верхней полуплоскости на многоугольник D(w0, 0, lj,oif) при принятых условиях существует и единственна. Пусть
O^a1Ca2Ca3C ... <ап1 я2»1, аЛ-2
суть точки оси X, переходящие при отображении w~F(z) в вершины многоугольника. Рассмотрим функцию
С = In
Вдоль каждого из отрезков ( — оо, A1), (ах1 а2), ... (ап1 + оо) аргумент F' (z) сохраняет постоянное значение, следовательно, вдоль каждого из этих отрезков мнимая часть ? постоянна, но в таком случае производная
, ч d( Fff(Z)
= K =
на всех отрезках (ау,Яу+1) гринимает действительные значения. Итак, функция <p(z), праіильная гри у > 0(F' (z) Ф О, в силу однолистности F (z)), гринимает действительные конечные значения на всей действительной оси кромеv бьль может, точек uj. Применяя к cp(z) принцип симметрии Шварца, положив <р (z) = 9 (Z)1 мы полу^ им функцию, правильную во всех Z плоскости, за исключением точек «у, в которых согласно п. 35 она имеет простые полюсы с вычетами а7—-1. Следовательно,
рЛЛ- F'(z)_a1-l , «2-1 , ,^LZli1)
Интегрируя (39) и избавляясь от логарифмов,
получим
Ff(Z) = ClZa^i (z — fle)*«-1... (z-anyn- Ij (40)
1J См. введение, формула (29'). В силу регулярности F в беско-нечности при I Z > R имеет место разложение F (2) = A0 f - 1 + • • • ;
Z
пусть An — первый коэффициент, отличный от нуля, из разложения
, . Fm(Z) п + 1 , B2 ,
* ^ ' я F' --Z + + видно> что f (оо) «= 0, поэтому в формуле (39) свободный член отсутствует.
5* 67 где C1 — комплексная постоянная. Принимая во внимание, что на отрезке (0,1) все множители (oy — г)*;-1 принимают действительные значения и, пользуясь тем, что отрезок I1 образует с осью и угол 6. получим
C1^Ce",
где С —действительное число. Интегрированием (40) мы получим искомую формулу (38). Пусть заданы п углов Ica1, тга2, ... , iran при вершинах многоугольника. Проведённый анализ показывает, что при заданных постоянных С, a3, а4, ... , ап-х формула (38) даёт конформное отображение верхней полуплоскости на многоугольную область с заданными углами при вершинах. Длины сторон этого многоугольника определяются по формулам (38'):
«У + 1
Ij = ^ IFf (%) Idx, /=1,2, . . . , л-1.
0J
Обратно, зная заранее длины сторон многоугольника, мы Bcei да можем определить параметры С, a3, a4, ... , an-i в формуле (38) по уравнениям (38'). Заметим, что число неизвестных параметров равно п — 2, а число уравнений равно ri— 1; нетрудно видеть, что для определения параметров можно воспользоваться любой системой из ті — 2 уравнений, входящих в (38').
