Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
"j ^ fffr^x лоиды,
«ms
W = Z + In Z
(70)
T'' Г)' T^u (Рис- ^l). с D д 43. Отображения областей, огра-
Рис. 51.
ниченных кривыми второго порядка. 19°. Функция
W = IfI (71)
отображает внешность параболы
2 I 1
У + 1 1
на полуплоскость Im w > у (рпс. 52). Внутри параболы эта функция неоднолистна.
X В'т777777777777777, /
Г77^7777І777 д1
Рис. 52.
20°. Функция (71) преобразует область, ограниченную лучом — -г и верхней дуюй параболы, в полуполосу
¦00 О < V < у , и > 0; отображая »ту полуполосу на полуплоскость, на основании принципа симметрии, получим отображение внутренности параболы на всю плоскость без
плоскость,>%олучстм'^ отображение внутренности^ параболы на полуплоскость
W = їу 2 oh KjZrz' (72)
(риг/53).
21°. Функция
w = k]{z+ 4>1
реализует конформное отображение внешности* эллипса
с фокусамиVtoi ках z = 1 и с полуосямиї
„'»к*+.), 6=4(*-і)
на кругГ| w\ < 1 (рис. 54). Та же функция реализует отображение внешности отрезка [ — 1,1] на внешность круга
91 I w I > Обратное отображение
•-4С+-І) <">
было рассмотрено'ранее (п. 40, пример 4°).
22°. Функция (73) даёт отображение верхней половины эллипса^ на половину кольца 1 < | w , < к, v < 0; лога-
рифм отображает эту область на прямоугольник, а последний с помощью функции (63) отображается на верхнюю полуплоскость. Пользуясь принципом симметрии и вспомогательными. элементарными функциями, получим отобра-
жение внутренности эллипса на верхнюю полуплоскость з виде:
w = ]/V(ln- I+ In ft, it) + const (74)
(рис. 55).
92 23°. Та же функция (73) отображает область, заключённую между ветвями гиперболы с фокусами в точках z = ± 1 и с полуосями а — cos 6, b = «in 6 на внутренность угла 0 < arg w < 6; поэтому функция
W = [е- м (Z + (75)
реализует отображение внешности^ гиперболы на верхнюю полуплоскость (рис. 56).
24°. Функция (73) отображает верхнюю половину области, ограниченной правой ветвью гиперболы, на внутренность уїла, лежащую вне единичной окружности. Рис. 57. Пользуясь вспомогательными элементарными отображениями и принципом симметрии, получим отображение внутренности правой ветви ггперболы (рис. 57) на верхнюю полуплоскость:
„-,уз . (76)
(z+\fz2 — l)fJ + 1
ГЛАВА V ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Пусть в плоскости комплексною переменного Z нам даны две односвязные плоскости DmD, ограниченные линиями Г и Г, и пусть W = f (z), W==Zi(Z) суть функции, реализующие конформное отображение областей D1 D на одну из стандартных областей —круг, полуплоскость, полосу. В данной главе мы ставим себе следующую задачу: считая отображение w = f(z) известным, а контур Г бесконечно близким к Г, определить главную линейную часть приращения 8/ = Д (z) — / (z).
Мы начнём изложение с общих качественных теорем.
44. Случай отображения на круг. Условимся в некоторых обозначениях. Односвязную область, ограниченную линией Г, мы будем обозначать черев D(T). Фиксируем, в области D некоторую точку Z0 и отобразим конформно
¦93 область D на единичный круг \w \ < 1 при условии, чтобы точка zQ перешла в начало координат:
w = f(z, Г), /(ZojT) = O.
Функций /, обладающих указанным свойстеом, бесконечно мною, но если /0 одна из них, все остальные найдутся по формуле
где 6 —произвольное действительное число. В ряде излагаемых ниже вопросов множитель е'9 не шрает роли и под /(z, Г) мы будем понимать любую из этих функций; там, где величина 6 существенна, мы будем определять её дополнительным условием.
? j Замкнутую линию, переходящую при отображении (77) в окружность |и>| = г, г< 1, мы будем обозначать через при замене Г контуром Г соответствующую линию будем обозначать через уг-
Рассмотрим систему полярных координат (г, <р) с полюсом в точке Z0 и предположим, что в этой системе полярные радиусы гиг то\ек контуров Г и Г представляют однозначные функции 9: r=r(ср), г = г(<р) (контуры Г и Г звёздны относительно то* ки z0). To1 ку z2 = г2е/(?2контура Г, в которой г(ф) — г (ср) достигает максимума, и точку Z2 = г2ег^2 контура Г будем назь в ать точками наибольшей
(относительно z0) деформации, а число X = -2 —- наиболь-
Г2
шей деформацией контура.
^Сформулируем теперь основную качественную теорему. Теорема 4 (принцип Линделефа). Если область D (Г) содержится в области D(I)1 то:
1°. При любом г (0 < r< 1) область D (уг) содержится в области D(уг), причём соприкосновение уг и уг для какого-нибудь г возможно лишь при совпадении VuY. 2°. В точке Z0:
!/'(*„, г)1 >!/'<*.» г)|,
причём знак равенства достигается только при совпадении Г и Г.
3°. Если контуры Г и Г имеют общую правильную точку Z1, тогда в этой точке
I/'(Z1, Г) |</'(Z1, Г).
¦94 .так равенства также достигается толъксГпри совпадении Г и Г. _
4°. Если, кроме того, контуры Г и Г звёздны относительно Z01), то в точках наибольшей деформации
!/'(z2,T) I і/'(z2, г),
где наибольшая деформация контура.
Иными словами, если ограничиться рассмотрением областей, содержащих фиксированную то» ку Z0 и их конформных отображений на единичный круг, преобразующих Z0 в его центр, то при вдавливании границы области I0 все линии уровня отображэняя смей маюшя; 2° растяжение в точке Z0 увеличивается-/^ , 3° в точках границы, не подвергнувшихся деформации, растяжение уменьшается (в частности, уменьшается длина образа недеформированной части^ границы);
