Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
Найдём теперь связь между кривизной A0 и другими параметрами. Для этой цели обозначим через da элемент
дуги C0, а через а = а(а), а (0) =— +б — угол касательной к C0 с осью X. Пусть при отображении (62) элемент da соответствует элементу ds. Имеем
у _da
Ко-Та'
G другой стороны, бесконечно малое приращение d% угла а можно представить следующим образом:
{HSL-, -
Следовательно,
, т ds . d dz ds
но согласйо (62) в точке н — im имеем
d dz d j 01 /. . гч 2cos0 Ts arg-dl = rsIm21n(i-f С) = — ,
ds к /л чо
Таким обраэом,
к0 = ±-Тк( 1 —m)a + (l —m) a eoso,
^-(!^-.{-*--d-™) «>¦•}.
Отправляясь от полученных выражений для m и Tj нетрудно получить искомую формулу (61). Соїласно (6lj) имеем
\dw 1_і dw I d?
I Tz I ~~ I df h 1
л і-*, nk+ I
- jl + -i nk (I0 - (1 - m) cos б) +
что и требовалось доказать.
42. Отображения многоугольников. Отметим теперь несколько приложений общей формулы Кристофеля-Шварца к конкретным задачам. 12°. Функция
Z
Г dt
^(*;^) = ^===, к<1 (63)
О
(эллиптический интеграл первого рода) даёт конформное ¦ У
с' I и В' (t/.
/ / , 0% г
4/, 0 'г' Рис. 44. - f
отображение полуплоскости на прямоугольник с вершинами в точках у , ^1- + т19 — y + io)2, — где
O1 = 2с [ _
0
1 к
Г dt
CD2 = C \ =====
J Vlt2-II1I-Zc2
/сЧ2)
1
(63')
причём /(0) = 0, а точки ± 1, ± переходят в углы f прямоугольника (рис. 44). 66 Четыре величины, W1, о)2, с, к, связаны двумя соотношениями (63'); зная две из них, можно определить остальные.
Функцию, обратную (63), обозначим
* = O2)1); (63,)
она реализует конформное отображение прямоуюльника
ID1 COr „
— у< W < у , О < u < (о2 на верхнюю полуплоскость.
Рис. 45.
13°. При к = O прямоу/ольник выродится в полуполосу, ограниченную отрезком у, оси к и прямыми
и ± у . В этом случае (63) примет вид
w = с arcsin Zj
(64)
(рис. 45, с== 1). Обратное отображение приведено в п. 30. 14°. Функция
W :
./W-S
Vr(1-І2) (i-*2*2)(t2 + i)2
(65)
реализует конформное отображение полуплоскости на внешность прямоугольника, определённого в п. 12° (ср.п.39).
На рис. 46 изображены линии, переходящие при отображении внешности прямоугольника на внешность единичного круга в окружности w j = г > 1 и лучи arg w = с.
Она просто выражается черев эллиптическую функцию Якоби ? (Wi CD1, u>2) в an ~ ;
•м. об эллиптических интегралах и~функциях Ю. С. С икорок ий, Элементы теории эллиптических функций. ОНТИ, 1936. 15°. Отметим ещё несколько случаев конформных отображений вырожденных многоугольников. Область, ограниченная положительными координатными полуосями и
прямой V = — /г, представляет собой треугольник с углами в точках A9 (^oo), Bf (оо), Of (0), соответственно, равными
-jry 0, (рис 47). Производная "функции vw=f(z), ото-
* 1 M
бражающей ^полуплоскость lmz>0 на этот треугольник
Рис. 47.
так, что точкам Л', Bn и Onf соответствуют точки 0, оо и 1, имеет, следовательно, вид
і
dw __ с (z— А)2 _ z~~l # dz ~~ Z ~~ Z
Отсюда, интегрируя и подбирая нужным образом постоянные, получим искомое отображение
w e ^ 1 - arctg /іГЛ]. (66)
Рио. 47 показывает соответствие линий пр*і этом отображении.
8* WfMttfffffttli <<«(ЩЄ((«г<
16°. Построение конформного отображения фигурьі, изображённой на рис. 48 (пятиуіольника), упрощается, если воспользоваться принципом симметрии,—достаточно найти функцию, реализующую отображение четыре-угольника AfBfCfDf на верхнюю полуплоскость; та же функция отображает нашу фигуру на плоскость, разрезан- т Я*
ную вдоль двух лучей. Будем искать отображение W = f(z) полуплоскости на ^
этот четы ре угольник, переводящее вершины Br9C' M D' в 0,1 и оо; обозначим через а образ вершины Af; тогда про-гзводная искомой функции имеет вид
dw_к_ / Z-1
dz Z і V
Лг
1,0
(67)
2 О
P в'
Рис. 48.
\С D'
¦ и
Постоянные к и а определяются размерами h и Ь фи-
гуры?(см.Грис. 48): интеграл, от ^, взятый по полуокружности !достаточно большого радиуса, должен равняться ih, отсюда к = ; интегрируя dw
же— по окружности достаточно
малою радиуса, с центром в
точке Bfi получим а= ~~ ( & ) •
17°. Рис. 49 показывает образ координатной сетки | z = =const. при отображении верхней полуплоскости на пятиуюльник AfB9CDfE'. Отображающую функцию можно представить интегралом
Рис. 49.
W
-W
Z + d
(Z-I) (г+ с)
dz. (68)
Та же функция реализует отображение BtJSl области, изображённой на рис. 49, на плоскость z> разрезанную вдоль лучей (— оо, А) и (В, оо).
18°. Функция
w = f(z) = z + e* (69)
даёт конформное отображение полосы —я < у < я на
¦9 область, получаемую из плоскости^ w удалением двух параллельных полупрямых U = ± ТС, ж < — 1 (рис. 50).
77 С
ff
^7777777777.9
и /
I \
Рис. 50.
Заменяя в (69) z на Inz, получим отображение области, ограниченной полуокружностью и лучами, на область, ограниченную ^лучами и дуіОй BfDf цик-
