Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики - Лаврентьев М.А.
Скачать (прямая ссылка):
37. Дополнительные замечания. 1°. В формуле (38) может быть заранее фиксирована любая тройка чисел «у. В некоторых случаях подсчёты упрощаются, если вместо задания самих чисел «у задать некоторые соотношения между ними. Ния?е, на конкретных примерах, мы приведём несколько таких случаев.
2°. Иногда бывает удобно одно из чисел ay, например аЛ, принять равным бесконечности. В этом случае формула (38) примет вид
Z
F(Z) = Cei9 ^ (S-(J1)*'-1 (z-^)**-1 ... (z-an„!)^-i-i dz.(tt) о
Система уравнений для определения параметров С и aj остаётся прежней. Формулу {41) нетрудно вывести из (38) путём простой замены переменной под знаком интеграла
¦68 ZSA —^JrCin *). To же самое можно сделать путём ана-
лива йоведения функции <р (z) = у, в бесконечности.
38. Случай вырождения. Во мно их приложениях приходится иметь дело с отображениями jv.ho оугольников, у которых одна или несколько вершин расположены в бесконечно удалённой точке. В этом случае также некоторые из ух лов IXj могут обращаться в нуль (рис. 25).
Итак, пусть граница односвязной области D состоит из п прямолинейных отрезков, или лу*ей, Z1, Z2,..., In. Пусть Ij образует с /у+і угол ау; если конец Ij и на* ало Ij+1 есть конечная точка плоскости, то правило отсчёта OLj остаётся прежним; если 1} и lj+i суть лучи, то за а у мы принимаем со знаком „ — "угол, на который надо повернуть луч /у, вращая е.о против часовой стрелки, до совпадения с лучом lj+\ 2).
При этих обозначениях функция W==F (я), которая реализует конформное отображение верхней погушоскости у > 0 на область 2), переводящее точки 0, 1, 2 в первую,
1J При замене Z =---—Ь ап точка z = ап преобразуется в точку ? = 00, а формула (38) принимает вид: t
F (z) = F (г) = C1 ^ ^ a«—Ct1-— J О
/ INa 4—1/ 1 —1 dt
т)"-1 (-¦Г) ^ + t
= (г — aj)»!—і... (і — Яі-/""1'""1 ^+?;
O
для выполнения последнего преобразования мы в каждой скобке вынесли множитель ~ (/== 1»...» л — 1) и воспользовались соотно-
Г1
шением ^ gj = к — 2. /-1
2) Положительные направления на каждом луче берутся в направлении оо, под совпадением понимается совпадение по положению и направлению.
^v о
QT і
* (
Щ "і>
Рис. 25.
¦69 уторую и п-ую угловые точки границы, определится формулой (33).
Параметры С и аі мо:ут быть определены из следующей системы уравнений:
ґ
С ^ (z-ajs-^z-a^z-i ... (z~anyn-i dz-
где Wi суть угловые точки многоугольника, отличные от бесконечности.
Выео; фор> уль: (38) для рассматриваемого с учая і\ он но получить путём і редельного перехода от случая конечного гогигона
39. Случай внешней области. Фор-Myja, аналогичная (38), сграведлива и д.т я конформного отображения верхней полуш оскости на внешность мно-гоуго: ьника D(w0, 6, Ih а/; (рис. 26), Для вто о сгучая'исковая функция w = F(z) т.еет вид:
* = \ (f^)-1 ^t- dz+ Z0J] (42)
где Z1 есть то ка геруней полуп оскости, переходящая при отображении в то ку w —оо, а из п + 3 действительных параметров С, ап я,.....ал, Z1 = Zl-Wv1 три i\ о ут быть
за аны произво ьно, оста ьн:>е определятся ез системы (3S'V
Раз ичнт/е прттіу еры отобраи ений многоугольников читатель най ёт в еле, ующей г. аве.
*) Пусть Ip liA_{ — два лучя; возьмём на каждом из них по точке и соединим эти точки отрезком прямой Vy Если граница D содержит 1: бесконечно удалённых точек, то мы добавим к отрезков Vj-й получим, таким образом, конечный in + к)-угольник. К этому [n H- ?)-угольнику применим формулу (38) и совершим предельный пе^ехзд, заставляя все I) стремиться в оо. Замечая, что при этом точки а'р а"-, соответствующие кони а ми Ip будут ст; емиться к одной точке ар мы придём к искомому обобщению (38).
¦70 ГЛАВА IV
ПРИМЕРЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
При фактическом построении функции, реализующей конформное отобран енге ценной области D на круг или на по. уп. оскость, наибо. ее 1 асто применяются с. е, ующие три приёма: 1) при по. ощи о, ной из э; е.. ентарні. х функций, однолистных в D, С = /(z), преобразуют область D в новую область D19 конформное ото5ра*н ение w = <p(?) которой на круг у не известно; искомое отображение осуществляется при помощи функции CV = <р [/ (s)]; 2) по свойствам границы данной области D выясняются свойства, которыми должна обладать искомая функция; в некоторых случаях (отооран ение плоскости на многоугольник) выявленное свойства позволяют сразу написать bl ран ение для искомой функции; 3) гз тех или і яых косвенных соооран е-ний ^строится правильная в D функция, переводящая іра-ницу D в окрун ность или в прямую; принцип соответствия іраниц позволяет, утверждать, что построенная функция есть искомая.
В данной главе-мы приведём различные иллюстрации этих приёмов. 1
Ряд разбираемых здесь примеров конформных отображений нам понадобится как для дальнейше, о развития тео-
На*нём[с ря;а примеров конформных отобран ений круга на области, ограниченнье отрезками или окрун ностями. 40. Отображения лучевых областей. 1° Функция
/(°) = 0' /'W = 1 <43>
отобран ает едкнш нь й круг | z | < 1 на область, получаемую удалением из w-плоскости луча arg W = ос, |w|>~-(рис. 27, а = 0).
