Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
временной координате, преобразование Фурье по пространственным
координатам и другие интегральные преобразования.
Однако имеется мало УЭФ, допускающих точное решение. Это прежде всего
УЭФ, соответствующее таким стохастическим уравнениям, которые сами
допускают отыскание решения в аналитическом виде. Рассмотрим, например,
систему линейных уравнений
= А^х3 + U (t), xt (t0) = xi0 (4.1)
с постоянной матрицей А. Функции /; (t) будем считать гауссовскими
функциями, дельта-коррелированными во времени *), т. е.
<fi т (*')> = 2Btj8 (t - t') "/ (ф = 0). (4.2)
Решение системы уравнений (4.1) имеет вид
(
х (t) = exp {(t - t0) A) x0 + ^dxexp {(t - т)А} f (x), (4.3)
to
и, следовательно, величина x (t) является гауссовской векторной функцией
с параметрами уАг- матрица, транспонированная к А)
<х (ф = exp {(t - t0) А}Хо,
aV](t, t') = <[^(i) - O;(?)>][Zj(0 - Oj (0>1> =
t
- 2 ^ dx {exp {(t - x) A) В exp {(t' - т) Ат}}^. (4.4)
h
В этом случае, как легко видеть, гауссовское распределение вероятностей
с параметрами (4.4) удовлетворяет УЭФ для плотности вероятностей перехода
р (х, t \ х0, t0), соответствующему стохастической системе (4.1):
^<Ы1^ = _Л_{Ахр) + _±_в_!_.р, (4.5)
р (х, t0 | Х0, to) = 6 (X - х0).
Отметим, что само уравнение (4.5) также легко решается путем
преобразования Фурье по пространственной координате.
В качестве другого примера рассмотрим стохастическое уравнение
= z (t) х, х (t0) = х0, (4.6)
где z (t) - гауссовский дельта-коррелированный процесс (<z (ф= = 0, <z
(t) z (t')y = 2a26 (t - t')). Соответствующее УЭФ для
*) Отметим, что 6-коррелированность внешних сил для нахождения
статистических характеристик решения (4.1) не существенна (см. об этом
более подробно в следующей главе).
плотности вероятностей перехода имеет вид
-^-p(x,t I х0, t0) = а2 X xp (х, 11 х0, t0).
(4.7)
Стохастическое уравнение (4.6) можно решить аналитически:
t
х (t) = а:0ехр { ^ dr z(t)} ,
(4.8)
^0
и, следовательно, статистические характеристики х (t) определяются для
фиксированных значений t0, t статистическими характеристиками случайной
величины
t
l = ^drz(x).
(4.9)
to
Случайная величина ? имеет гауссовское распределение вероятностей с
параметрами
t
(I) =0, of = § § dxj. dr2 (z (тх) z (t2)> = 2a2 (t - t0),
to
т. e.
p (?) = -1 =- exp (__________________§!-1
(4.10)
V4яз* (t _ t0) F I 4a* (t - "") J
Рассмотрим плотность вероятностей перехода
р(х, t\x0, t0) = <6 (x(t) - x) I x (t0) = x0)z = <6(2: - 2:0 exp g)>6 =
00
= § d?b(x - х0ехр?)р(1).
(4.11)
- со
Интегрируя в (4.11) по ?, получаем выражение (считаем х0 0 и,
следовательно, х 0)
p(x,t\ х0, t0) = =jt- ехР {- wWZT) } ~ (4-
12)
У 4jt32 - t0) X I iJ \l T0) J
Легко видеть, что выражение (4.12) удовлетворяет УЭФ (4.7), а сама
величина х (t) называется при этом логарифмически нормальной величиной,
так как величина In х (t) распределена по гауссовскому закону.
Весьма мощным методом решения УЭФ является метод использования
интегральных преобразований. Так, если тензор коэффициентов диффузии Fh4
(х, х, t) (в 1.10) не зависит от х, то можно использовать интегральное
преобразование Фурье. В других случаях используются интегральные
преобразования, связанные с собственными функциями диффузионного
оператора
84
В качестве примера рассмотрим УЭФ вида
o,tol ^oi_^{x2_1)J_p{xJ , ^ to) (4.13)
(x > 1), p (x, t0 I x0, t0) = 8 (x - x0).
С таким уравнением мы столкнемся в седьмой главе. Учитывая, что
диффузионный оператор
является оператором Лежандра, естественно воспользоваться интегральным
преобразованием, связанным с функциями Лежандра. Это преобразование
называется преобразованием Мелера - Фока (см., например, [50]) и
определяется посредством интеграла
00
F (|А) = j dxf (х) Р_1/2-нд (х) (|А > 0),
(4.14)
1
где Pv (х) - функция Лежандра первого рода. Фактически вычисление
преобразования Мелера - Фока для различных функций / (х) осуществляется с
помощью интегральных представлений функций Лежандра, например:
