Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
процессы - результат асимптотического разложения по параметру, связанному
с его радиусом корреляции.
Поясним переход к дельта-коррелированпому процессу на примере
гауссовского стационарного процесса с радиусом корреляции -Г0. Логарифм
характеристического функционала процесса при этом, согласно гл. 1,
описывается выражением
t TL
(c),[у(т)] = - dxiy(Ti) ^ dxtB ( ~^Т2 ^v(r2). (6.19)
О о
Положим тх - т2 = г2т0, тогда выражение (6.19) примет вид
t tl/To
(r)t lv (т)1 = - To ? dxjv (Ti) ^ dx%B (т2)у(т! - т2т0). (6.20)
о о
Пусть теперь т0 ->¦ 0. В этом случае главный член асимптотического
разложения по т0 будет определяться формулой
оо t
@t \V (т)] = - То J dr В (t) ? dr!У2 (Ti), (6.21)
о о
70
которую можно записать в виде
t
0, [у (т)] = - ^ dx B3^v2 (т), (6.22)
о
где
в* = ^в(1г) = тНлвШ- (6'23)
О -ос
Конечно, асимптотическое разложение (6.21) справедливо не для любых
функций v (т), а только для таких, которые мало меняются за времена
порядка т0. Так, если v (т) = к б (т - ?0), то асимптотическое разложение
(6.21) не справедливо, и в этом случае формула (6.19) заменяется
выражением
(r)1[у('с)]=-4-в(°) (6-24)
соответствующим характеристической функции процесса 2 (t) для
фиксированного момента времени t = t0.
- Рассмотрим теперь величину <2 (t)Rt [z (т)]>, которая в данном случае,
согласно (3.13), описывается формулой
t
<2 (0 Rt [Z (т)]> = J dhB (-^-Х-^7^ Rt [2 (т)1> • (6.25)
о
Выполняя замену переменных t - ty -tyx0, получаем выражение
Чи
(z{t)Rt[z( т)]) = т0 jj dt,B (tj) ^ -bz (- Rt[z(x)\y , (6.26)
о
которое при тQ -v 0 переходит в равенство, соответствующее гауссовскому
дельта-коррелированному процессу:
<z (t) R, [2 (т)]> = B°w Rt [z (r)f> , (6.27)
если, конечно, вариационная производная в (6.26) мало меняется за время
порядка т0.
Таким образом, аппроксимация процесса z (t) дельта-корре-лированным
процессом обусловлена малостью изменения функционалов от этого процесса
за времена порядка его времени корреляции.
Рассмотрим теперь процессы телеграфного типа. Для телеграф-
\
ного процесса (с р (а) = у [б (а - а0) + б (а + Яо)1) характеристический
функционал описывается уравнением (1.3.31). Время корреляции для этого
процесса т0 = l/2v, и при v -оо (т0 -0) это уравнение для достаточно
гладких функций v (t) переходит
71
в уравнение
-|-Ф, [у (т)] =~4rv* (О Ф< ty (Т)Ь (6-28)
соответствующее гауссовскому дельта-коррелированному процессу. Если при
этом считать еще, что al оо, причем lim aJ2\ = Сто'
V->со
то формула (6.28) не будет содержать параметра v и запишется в виде
-Jf ф< [V (т)] = - atv2 (t) Ф1 [V (т)]. (6.29)
Конечно, это не означает, что при v -оо телеграфный процесс перестает
быть телеграфным. Так, при v -оо одноточечное распределение вероятностей
z (t) будет по-прежнему соответствовать телеграфному процессу, т. е.
процессу с двумя возможными состояниями. Что касается корреляционной
функции и моментных функций более высокого порядка, то они при v -оо
обладают всеми свойствами S-функций, так как
[О при т Ф- О, lim 2v ехр {- 2v I т
1} = { (6.30)
v-*oo при Т = 0.
Такие функции следует считать обобщенными функциями, и их дельтаобразный
характер будет проявляться в связанных с ними интегралах. При этом
уравнение (6.28) показывает, что предельный переход при v -*¦ оо для
таких величин эквивалентен замене процесса z (t) на гауссовский дельта-
коррелированный процесс. Эта ситуация совершенно аналогична аппроксимации
гауссовского случайного процесса с конечным радиусом корреляции т0
дельта-коррелированным процессом при т0 -"¦ 0.
Аналогичным образом получаем, что и обобщенный телеграфный процесс,
характеристический функциопал которого описывается интегро-
дифференциальным уравнением (1.4.62), при v -> оо для достаточно гладких
функций v (t) определяется уравнением (считаем для простоты <а> = 0)
-^-Ф"[у(т)]= - -^-1;г(0ФЛи(т)1, (6.31)
также соответствующим гауссовскому дельта-коррелированному процессу.
В качестве более сложного примера рассмотрим характеристический
функционал для квадрата гауссовского стационарного процесса, т. е. для
