Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
процесса z (t) = ?2 (t), где \ (t) - гауссовский процесс с параметрами <?
(t)) = 0, (tjg (t2)> = В (tt - t2). Вычислим его характеристический
функционал
/
Ф/[у(т)] = <Ф(>, Ф( =ехр (t ^<2тг;(т)?2(т)}. (6.32)
о
72
Характеристический функционал процесса 2 (t) удовлетворяет уравнению
(2.1.8):
-^-Ф;ИО] = ИО<1ЧОф;>- (6-
33)
Рассмотрим величину ?(^, t2) = (tj)l (t2)ф(>. Согласно формуле (3.13)
t
Т (tu t2) = J dt'B (f, - t') I (**) Фу
• (6-34)
о
Вычисляя теперь вариационную производную в правой части (6.34) (при этом
используем явное выражение для функции ф(
(6.32)), получаем интегральное уравнение для функции ? {tu t2):
t
XF (tu t2) = В {tx - t2) Ф, -f 2i ^dx В (tx - x)v (т) T (t, t2).
(6.35)
о
Функцию Ч'' (tlt t2) можно представить в виде
Y (h, t2) = S (tu t2)Ф(,
(6.36)
где функция S (tu t2) удовлетворяет линейному интегральному уравнению
t
S (tb t2) =k В (ti- t2) + 2i ^ dx В (ti - x)v (t) S (t, t2).
(6.37)
0
Следовательно, функционал Ф* \v (т)] имеет структуру
1
(01 = ехР [i\dxv (т) S (т, т)} .
(6.38)
о
Таким образом, разложение величины S (t, t) в функциональный ряд Тейлора
по v (т) определяет кумулянты процесса z (t) = |2 (t). А так как
уравнение (6.37) - линейное интегральное уравнение, то его решение можно
представить в виде итерационного ряда
со
¦У(М)= S ^п) (*, 0.
71=0
t
S<n> (t,t)= (2i)n § . . . j dxx. . . dxnv (Tj). . . v (xn) x 0
X B(t - Tj) 5 (Ti - Ta). . . В (xn - t).
(6.39)
Следовательно, n-й кумулянт процесса z (t) определяется величиной 5(n-1>
(t, t). Отметим, что, по-видимому, впервые кумулянт-ные функции для
квадрата гауссовского процесса исследовались в работах [47].
73
Если функция v (t) медленно меняется за время корреляции т0 процесса
% (t) (т. е. мы не рассматриваем одновременные характеристические функции
процесса z (t)), то можно перейти к пределу т0 -*¦ 0. В результате
получаем выражения:
(*, t)=B (0),
оо
5<и> (М) = (2t)n vn (t) ^ . . . J eft!. . . dxnB (ti) В (тх - x2). . .
В (xn),
(6.40)
и, следовательно, процесс z (t) можно считать в этом пределе дельта-
коррелированным по t случайным процессом. Разложение величины S (t, t) в
ряд (6.39) в этом случае идет по параметру а = х0В (0)v (t). Если а<^ 1,
то можно ограничиться первыми членами ряда (6.40), что соответствует
обычной теории возмущений. Если же а ~ 1, то необходимо учитывать весь
ряд для функции
S (t, t).
Примером процесса, который не является дельта-коррелированным, может
служить, например, процесс z(t) = z\ (t), где \ (t) - гауссовский дельта-
коррелированный процесс, для которого (t)~} = 0, (t)% (?)У = а2б
(t - ?), а величина z слу-
чайна с распределением вероятностей р (z). В этом случае
характеристический фуикционал определяется равенством t
Ф/1у(т)] = <^ехр jiz dTy(t)|(T)|^>z ^ =
О
ОО t
(* Г ,т2^2 Г
= \ dzp(z)expj--------\dxv2(x)
-V оо о
и процесс z (t) не является дельта-коррелированным, так как для него не
выполняется равенство (6.13), несмотря на то что второй кумулянт его
имеет вид
К2 (tlt t2) = <z (ty)z (ф = <z2>ct26 (tx - t2). (6.42)
Это связано с тем, что процесс z (t) является произведением двух
процессов: z - с бесконечным радиусом корреляции и % (t) - с нулевым
радиусом корреляции.
В заключение этого параграфа остановимся на понятии дельта-
коррелированных во времени случайных полей.
Пусть имеется векторное случайное поле f(x, t), где х-
пространственные координаты, a if - временная координата. В этом случае
разложение логарифма характеристического функционала в ряд Тейлора
определяет кумулянтные функции случайного поля / (см. гл. 1). В частном
случае, когда
Kl^-'Xn(xu h] .. . ;хп, t") =
= К......(хи ...,хп; h) б (ii - ia)... б (tn-1 - tn), (6.43)
(6.41)
74
будем называть поле / (.*, t) дельта-коррелированным случайным полем по
t. Тогда функционал @t [г]з (ас', т)] принимает вид
ОО п t
0г [г|з (X, т)] = Yj -^г § dr jj ¦ • • jj dxi ¦ ¦ • dXn x
тг=1 О
x Klln...(Xi,. . . , xn\ t) i|3i, (x1; t). . . (xn, T), (6.44)
