Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кляцкин В.И. -> "Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах" -> 33

Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.

Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах — М.: Наука , 1980. — 337 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskieuravneniyaivolni1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 135 >> Следующая

(^*3)
Решение уравнения (2.2) можно искать в виде З1m (•(r)1) ^1> • • • ! *mi
^m) =
= р (xm, ^ j ЭС-m-1, tm^i) ^ (fC\, t\) . . . J Xm-i, tm_j).
(2.4)
Так KftK все дифференциальные операции в (2.2) относятся к хщ, tm,
подставляя (2.4) в (2.2) и (2.3), находим следующее уравнение для
плотности вероятностей перехода р (обозначаем хт,
80
tm через ж, t и хт^, tm^ через 'ж0, t0):
-^¦p(x,t | а?0, f0) + -^7 {[^i (ж. <) + A (x, t)] p} =
i
(2.5)
с начальным условием
p (ж, t0 | x0, t0) = 6 (ж - ж0).
(2.6)
Путем (лг - 1)-кратного применения формулы (2.4) получаем соотношение
X р {Хт-1? tm-1 | Xjyi-2> tm-2) • • • Р {Хъ, ^2 [ ^l) fi (*^l), (^'^)
где Р(1 (cqj - плотность вероятностей, определяемая уравнением
(1.10) с начальным условием (1.11) и относящаяся к одному моменту
времени. Равенство (2.7) выражает многовременную плотность вероятностей
через произведение плотностей вероятностей перехода и означает, что
случайный процесс § (t) является марковским (см. § 4 гл. 1).
Таким образом, можно высказать следующее утверждение:
Если нелинейная динамическая система описывается уравнением (1.1), в
котором случайная "сила" / (ж, t) удовлетворяет условиям а), б) и
является дельта-коррелированной во времени (т. е. ее корреляционный
тензор имеет вид, задавав- (2.8) мый правой частью (1.4)), то случайный
процесс | (t) является марковским, описывается УЭФ (1.10) и соотношения-
При этом существенную роль играет условие причинности (1.2),
вытекающее из уравнения (1.1) и начальных условий к нему. Эти факты
хорошо известны (см., например, монографию [48]). Вывод УЭФ описанным
выше методом содержится в работах [15].
В ряде физических задач приходится иметь дело не с конечномерной
системой обыкновешшх дифференциальных уравнений, а с системой уравнений в
частных производных (п = оо). В этом случае понятие плотности
вероятностей не всегда имеет смысл и приходится рассматривать
характеристический функционал для соответствующих полей. Уравнение для
характеристического функционала при этом является функциональным
уравнением с вариационными производными, представляет собой
бесконечномерный аналог УЭФ и может быть названо приближением
диффузионного случайного процесса. Исключением являются уравнения в
частных производных, содержащие производные по пространственным
координатам только первого порядка. Такие уравнения, как хорошо известно,
эквивалентны конечномерной системе обыкновенных дифференциальных
уравнений, и, следовательно, ста-
ми (2.5) -
(2.7).
81
тистические свойства их решений могут быть описаны плотностью
вероятностей Р, г (х), параметрически зависящей от пространственно-
временной точки (г, t). Примеры таких уравнений рассматриваются в гл. 5.
§ 3. Об условиях применимости уравнения Эйнштейна - Фоккера
Для оценки границ применимости УЭФ необходимо учитывать конечность
радиуса корреляции т0 поля fj (ж, t) по временной координате. В этом
случае вместо уравнений для плотности вероятностей (1.10) получается
уравнение
^ dS-,. (as, t)
EPt(x) =---------ii-, (3.1)
К
где Ё - стоящий в левой части (1.10) оператор, в котором величина Fki (х,
х, t) заменена на
(
Ры (х, х, t) = j dt'Bkt (х, t; х', t'), (3.2)
О
a Sic (ж, t) - член, учитывающий поправки к вектору плотности потока
вероятностей, связанные с конечностью т0. Отметим, что при т0 ->- 0
правая часть (3.1) стремится к нулю, и мы возвращаемся к уравнению
(1.10). Отличие F-м от Fm заметно лишь в области t то- Учет Si;
накладывает, вообще говоря, ограничения па интенсивность флуктуаций поля
/. Вывод выражений для Sn, соответствующих системе уравнений (1.1),
приведен в работе [15] (см. также [49]). В общем случае эти выражения
довольно громоздки, и для различных физических задач получаются свои
условия применимости УЭФ. Ниже мы рассмотрим метод последовательных
приближений, позволяющий находить условия применимости УЭФ более простым
путем.
Таким образом, условие малости параметра т0/Т является необходимым,
но, вообще говоря, недостаточным для возможности описывать статистические
характеристики решения системы уравнений (1.1) на основе приближения
диффузионного случайного процесса (УЭФ). Для каждой конкретной задачи
необходимо проводить более детальные исследования.
§ 4. О методах решения УЗФ
Уравнения Эйнштейна - Фоккера для одноточечной плотности вероятностей
(1.10) и для плотности вероятностей перехода (2.5) относятся к
параболическому типу уравнений в частных производных, и для их решения
можно использовать методы теории уравнений математической физики.
Основными методами при этом
82
являются: метод разделения переменных, преобразование Лапласа по
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 135 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed