Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
= {~W + аА') <Zl'^) • • " (х)]>, (5.28)
где к 1,2,..., N.
§ 6. Дельта-коррелированные случайные процессы
Особое место в физических задачах занимает случай, когда г (t) можно
рассматривать как дельта-коррелированный процесс. Важность этого случая
обусловлена прежде всего тем, что во многих физических задачах такая
аппроксимация флуктуаций параметров имеет ясную физическую природу и при
этом, как мы увидим далее, для плотности вероятностей решений
соответствующих динамических систем может быть получено замкнутое
уравнение.
Для гауссовского 6-коррелированного во времени процесса
корреляционная функция имеет вид
<z (h) z (*2)> = В (tjb (h - t2) (<z> = 0). (6.1)
В этом случае функционалы 0 [г; (г)], Qf, ?2,, введенные во вто-ром
параграфе данной главы, равны
t
------^d'cBi %)v2 (%), (6.2)
О
Qr[v(r)] = W(t')v(t')1 Qt[v(x)] = ^~ В (t)v(t), (6.3)
а формулы (2.16), (2.18) существенно упрощаются и принимают вид
, / [z (т)1 \
<z (f) Bt [Z (т)]> = В (Г) > (0 < г < t), (6.4)
1 / 6R, [г (т)1 \
<г(0Д{1г(т)]> = 4-Д(0<- У' (6-5)
Выражения (6.4), (6.5) описывают скачок статистических средних при t'
= t для рассматриваемого гауссовского дельта-коррелированного процесса.
Существование этого скачка обусловлено сугубо дельта-коррелированностью,-
если процесс не дельта-коррелирован, то никакого скачка нет (см. формулу
(3.13)).
Дельта-коррелированный пуассоновский случайный процесс соответствует
предельному переходу
g (т) -*¦ 6 (т). (6.6)
68
В этом случае логарифм характеристического функционала имеет простой вид
(см. (1.3.23)). Следовательно, формулы (2.17), (2.19) можно переписать
(для данного случая) в виде
оо
Qr [y(t)] = v j dilp(l)exp {i%v(t')} (t' <*), (6.7)
&t [v (t)] = -r^y- dl p (?) [exp {ilv (t)} - 1] =
-oo
I
= v dlp(l)^di]exp{ir]v(t)}, (6.8)
- 00 0
а выражения для корреляций (2.16), (2.18) оказываются равными <z(0
flf[z(T)l> =
со
= v J dllp(l)(Rt[z(r)+ ld(r - *')]> (*'<*),
(6.9)
- 00
oo I
<z (t) R,\z (т)]> = V j dlpiQ^d-r] <Rt [z (t) + r) 6 (t - t)]>.
(6.10)
-сх 0
Формулы (6.9), (6.10) описывают скачок статистических средних при f = t,
обусловленный, как и для гауссовского случая, дель-та-коррелированностью
процесса z (t).
В общем случае дельта-коррелированного процесса z (t) разложение
логарифма характеристического функционала в функциональный ряд Тейлора
имеет вид
оо t
в(и*)] = ? ~г jjdx кп (т) "п м"
(6Л1)
П=1 о
а все кумулянтные функции при этом определяются выражением Кп (tj, . .
tn) = Кп (tje (h - U) . . . б (/п_! - tn). (6.12)
Характерной чертой этих процессов, как видно из (6.11), является
справедливость равенства
/ . с?0 [v (т)] \
0i[y(T)]=0i[y(O] ----t-----), (6-
13)
играющего принципиальную роль для дальнейшего. Равенство (6.13)
показывает, что величина 0t [v (т)] для дельта-коррелиро-ванного процесса
является не функционалом v (т), а просто
69
функцией. В этом случае функционалы Qt-, Qt принимают вид
оо
^Yi^rKn+At')vn(t') (6.14)
7l=s О
СХ
?Mw(tOJ=5j T^piyrя"+1 (()L,n(0 (6-15)
п-О
и формулы (2.16), (2.18) таковы:
V~i 1 , / [г (т)] \
<2 (Г) Rt [z (т)]> - 2_, 4 / (? <
. 71=0
(6.16)
1 / йпЛ, [z (t)J \
<2 (О Д( [, (т)1> = ? /Сп+х (/)< -afn^)i> • (°-17)
?г=0
Формулы (6.16), (6.17) описывают скачок статистических средних в общем
случае дельта-коррелированных процессов при t' = t.
Отметим, что при t' t для дельта-коррелированных процессов имеет
место очевидное равенство
<2 (*')Д, [z (т)1> = <2 (t')> <Дг [2 (т)]>. (6.18)
Дельта-коррелированных процессов в природе не бывает. Все реальные
процессы имеют конечный радиус корреляции, и дельта-коррелированные
