Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
знак среднего и снова используя (1.6), получаем
д-д1Х)- = - to С*. О pt И) - -J- if к (35. .t) б (Ж - I (*))>. ft"
ft"
(1.8)
Выражение, стоящее под знаком усреднения, представляет собой корреляцию
случайной величины/(ас, ?) с функцией б (ас - § (?)), зависящей от
решения системы (1.1) и, следовательно, являющейся функционалом от поля
/. Для вычисления этой корреляции воспользуемся формулой (2.3.6'). Тогда
уравнение (1.8) можно переписать следующим образом: дР,(х) а
оо
- со
или, окончательно, в виде
дР.(х) я я (* (•
~тг= " ^ *)Pt ^ \dx Jdx (х' ^ х
о
x^r<S(x^5('))w?"->' <'-9>
В интеграле по т в (1.9) пределы расставлены в соответствии с (1.2).
Как видно из (1.9), плотность вероятностей для решения \ (t) в
фиксированный момент времени t определяется зависимостью поведения
решения % (f) от поля / (ж', т) для всех 0<т ^ t, и для нее, вробще
говоря, не может быть получено замкнутого уравнения.
Если для корреляционной функции поля /(х, t) воспользоваться
приближением (1.4), то возникнут члены, связанные со значениями 6|m
(t)/8fi (х', t) при совпадающих временных аргументах т = it, которые,
согласно (1.3), выражаются через функции ?г (t). В этом случае
дР. (х) я
=-д^г{Vk ix't} Pt {х)} +
+ ^ dx'Fu (x, x', t) bmt <6 (x - I (t)) 6 (x - I (*))>,
и мы приходим к УЭФ (см. § 4 гл. 1):
дР. (х) я
-ft-------------------------------------------h (*i t) + Ak (x, f)] P,
(as)} -
h
-^4^[П'г(ж'ж'0Л(ж)1=0, (1Л0)
где Ak (x, t) = -^-F}[., (x, x, t)
Уравнение (1.10) следует решать с начальным условием
•' />" (X) : -¦ (S (X - §") \ (1.11)
или же с начальным условием более общего вида: Р0 (х) = W0{x).
Рассмотрим величины, входящие в (1.10). Члены уравнения
(1.10) с А к и Fh-i обусловлены флуктуациями поля /;- (х, t). Если поле /
стационарно во времени, то величины Ак и Fkl не зависят от t. Если к тому
же поле / однородно и изотропно повеем пространственным координатам, то
величина Fki (х, х, t) = const, что соответствует постоянному тензору
коэффициентов диффузии, а А к (х, t) - 0 (заметим, одпако, что
зависимость Fki и Ак от х может быть связана и с использованием
криволинейных координат).
Пусть теперь / не обладает пространственной однородностью. Если
интенсивность флуктуаций /достаточно мала, то и флуктуации величин | (t),
обусловленные вариациями /, часто оказываются также достаточно малыми. В
этом случае можно разложить ft (x,t) в правой части (1.1) в ряд по
пространственным переменным в окрестности точки |0, т. е. представить /г
(-х, t) в виде
/г (х, t) = аг (t) + bij (t)(Xj - lj0), (1.12)
где величины at (t) и btj (t) являются гауссовскими случайными
величинами, стационарными во времени. Первый член в (1.12) приводит к
постоянному по пространственным переменным тензору коэффициентов
диффузии, а второй - к квадратитному. Соответствующие этим тензорам члены
в уравнении (1.10) являются "однородными" в том смысле, что если написать
с помощью
(1.10) уравнение для какого-либо момента функции § (t), то диффузионные
члены не порождают моментов | более высокого поряд-
79
ка. Если к тому же детерминированные функции vt(x, t) являются линейными
функциями пространственного аргумента, то для моментов \\t) любого
порядка получаются замкнутые уравнения, которые в ряде случаев более
удобны для анализа, чем само уравнение (1.10).
§ 2. Плотность вероятностей перехода
Вернемся теперь к динамической системе (1.1) и выведем уравнение для
m-временной плотности вероятностей
3*го (*^1> ^1> • • м 'Я'тт ^т) ==
= <6 (I (*,) - х,) . . . 6 (I (tm) - авга)>,
(2.1)
относящейся к m различным моментам времени.
Пусть tx < t2 < . . . < tjn-i < tm. Дифференцируя (2.1) по tm и
используя затем динамическое уравнение (2.1), формулу (2.3.6'), условие
причинности (1.2) и соотношение (1.3), можно получить уравнение,
аналогичное УЭФ (1.10):
hi • • • tm)
dt ~Г 771
П
Z~TZ {[^i (*mi tm) "t~ (*mi ^m)] 31m} -
mi
t=i
n n
~ 7 tm) 3d,n]
(2-2)
i=1 j=l mJ
(суммирование по индексу m здесь не производится). Начальное условие к
(2.2) можно найти из формулы (2.1). Полагая в (2.1) tm = ?m_j и замечая,
что
8 (^ (tm-i) Xm-l) 8 (^ (tm-j) Xm) =
=¦ 6 {pCm^-y Хщ) b (^ (trn-i)
Xm-1)1
получаем
3^m (з^1, ^1) • ¦ * т -1? -1, trn-l)
6 (Жтп l) 3^m~i (*^1, ^1, • • • J l? -l)*
