Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
По аналогии с аддитивной и ^мультипликативной функциями полезности представляется целесообразным вновь использовать идею стационарности. Теперь, однако, она становится более тонким понятием, поскольку мы не можем требовать, чтобы все отдельные периоды были стратегически эквивалентны, когда принимаемые в каждом периоде решения зависят от будущего, а будущее в потоке с конечным горизонтом, несомненно, различно, по крайней мере по продолжительности, для каждого отдельного периода. Чтобы преодолеть это осложнение, мы введем понятие эквивалентного будущего. Допустим, что xt изменяется в пределах от х° до л:*, т. е. в одном и том же диапазоне для каждого периода, и пусть t<t'. Теперь мы потребуем, чтобы для любого буду-
щего Xf+1 существовало (эквивалентное) будущее х*+1 такое, при котором условная однопериодная полезность Xt при фиксированном xf+1 была бы стратегически эквивалентна условной однопе-
риодной полезности Xt при также фиксированном х*-+1 во всем диапазоне (х°, X*). Этого обобщенного условия стационарности достаточно для того, чтобы оба 'множества функций а*(«) и bt{-)> используемые в выражении (9.22), не зависели от t [см. работу" Оксмана (1974)]. Определив- a=at и ?=bt для всех /, получаем стационарный вариант соотношения (9.22) в виде
~ut(*t) =u(xt) +V(XtJUt+1(Xf+1). (9.25)
16* 483
9.5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ГОРИЗОНТ
До uHxjiop ватой главе мы считали временной горизонт (характеризуемый величиной п) неизменным и заранее заданным. И хотя многие проблемы принятия решений приемлемо структуризу-ются при фиксированном горизонте, тем не менее очень часто бывает необходимо в явном виде использовать переменный или неопределенный горизонт. Личные долгосрочные решения, связанные с длительным отрезком, а «может, и со всем периодом оставшейся жизни и касающиеся, например, выбора карьеры, создания необходимых сбережений или возможного размера пенсий, а также большинство «медицинских решений, и т. п. являются типичными примерами, когда естественный горизонт проблемы (т. е. продолжительность жизни человека) является неопределенным. То же самое справедливо и для некоторых общественных или корпоративных решений, например решений, для которых естественным горизонтом будет время свершения предполагаемого технологического открытия. В последнем случае временной горизонт может частично (и даже полностью) находиться под контролем лица, принимающего решение: выделением необходимых ресурсов оно может повлиять на более раннее свершение таких событий.
Если горизонт не зафиксирован и вообще неизвестен, то нам приходится иметь дело с предпочтениями относительно потоков хп=(агь х2, Xn), обладающих различной «длиной», т. е. различной продолжительностью. Основная схема для сравнения лотерей, исходами которых являются потоки одинаковой продолжительности, уже была нами рассмотрена, постараемся теперь расширить и перенести использовавшийся нами метод на потоки с различной протяженностью.
Пусть значения критерия N9 характеризующего величину горизонта, изменяются в пределах от п° до п* соответственно минимально и максимально возможной величины горизонта для рассматриваемой проблемы принятия решения. В принципе мы можем построить условные функции полезности и(хп\п) для каждого значения п. Для этого просто нужно применить тот же прием, описанный нами ранее, для каждого значения п отдельно: мы фиксируем п и квантифицируем наши предпочтения для всех возможных потоков хп этой протяженности. В результате получаем функцию и(»\п)у далее мы повторяем этот процесс для другого значения п до тех пор, пока не получим семейство условных функций полезности {и(-\п), rfz^n^n*}.
Однако эти условные полезности, связанные с различными значениями п9 пока еще нельзя непосредственно использовать при принятии решений, поскольку они не описывают наши предпочтения для различных п. Поэтому нам нужны совместные (объединенные) полезности и(хп9 п)9 которые бы описывали наши предпочтения одновременно для потоков хп и горизонта п. Поскольку функция и(хп, п) для каждого данного п должна быть стратегически эквивалентна функции и(хп| я) для решений, связанных толь-
m
ко с Xті, то отсюда следует, что и(хпу п) должна быть положительной линейной функцией от и(хп\п) с коэффициентами, которые могут зависеть от я, но не от хп:
u(xnt п)=у\(п)+в(п)и(хп\п), где в(л)>0. (9.26)
Уравнение (9.26) является основным инструментом для анализа решений с неопределенным горизонтом. Нам остается только 'выяснить, как построить ті(-) и в(-)> и изучить особые структуры полезности, которые вытекают из упрощающих допущений о независимости.
Рассмотрим проблему принятия решения, в которой мы должны выбрать одну лотерею из набора лотерей {Lk, A=I, 2, ...}. Пусть при выборе А-й лотереи плотность вероятности появления потока хп равна /ь(хп, п), топда «мы должны выбрать ту лотерею, которая максимиризует ожидаемую полезность
ад = S f fk(xn9 п)и(хп, n)dx*. (9.27)
Теперь мы можем выделить два класса проблем принятия решения:
1. Проблемы, в которых временной горизонт, помимо того, что он является неопределенным, полностью нам неподвластен. Это соответствует утверждению, что каждая лотерея Lh должна иметь одно и то же маргинальное распределение вероятностей для п, т. е.
