Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
*) Интуитивно ясно также, что, строго говоря, функция полезности должна быть ограничена слева. То есть, если х° означает наш «финансовый крах», то и(х°) не должна обращаться в —оо. Доказательство здесь таково. Пусть х° равносильно для нас «финансовому краху», *° <*'<*", и пусть получение наверняка х' всегда будет более предпочтительным (для нас!), чем участие в лотерее, которая приводит к х° с вероятностью р и к х" с вероятностью 1— р9 в том числе и при достаточно малом р. Отсюда и(х?)ф—оо. Если положить равной некоторому конечному значению, то в качестве и(*) можно взять неотрицательную функцию. Тем не менее во многих приложениях удобнее допустить, что и(*) не ограничена слева, и в этом случае мы должны пользоваться отрицательными функциями и(»), и(*)<0.
493
Заметим, что общий вед зависимости, полученной выше для одномерных функций полезности потребления, подходит и для критериев, по своему смыслу значительно отличающихся от потребления, например для критерия, характеризующего чистоту воздуха. Если бы мы в качестве одного из критериев использовали концентрацию загрязняющих веществ (например, число частиц в 1 см3), то мы столкнулись бы с тем фактом, что более высокие значения критерия оказываются менее желательными, что разумеется, совершенно неверно. Поэтому вместо этого показателя целесообразно использовать величину, обратную уровню загрязнения, т. е. описывать чистоту воздуха с помощью числа кубических, сантиметров чистого воздуха, приходящихся на одну частицу. Обозначим эту меру чистоты воздуха через X. Далее существует примерная нижняя граница для х, ниже которой воздух становится непригодным для человека. Поэтому при приближении к ней полезность очень резко падает; естественной идеализацией здесь будет снова принять «вертикальное» падение. Оправа, для очень больших х, мы опять приближаемся к верхней границе в основном по той же причине, что и раньше: рассматривая лотерею (50—50), исходами которой являются сильно загрязненный и абсолютно чистый воздух, мы наверняка предпочтем вместо этой лотереи иметь какое-то конечное значение показателя чистоты воздуха, которое мы могли бы получить без всякого риска. Функция полезности, как показывает следующий пример, также, возможно, будет свидетельствовать о нашей несклонности к риску.
Рассмотрим лотерею (50—50), исходами которой являются чистота воздуха, измеряемая соответственно 2 и 10 см3/частица. «Средняя» чистота 6 см3/частица. Пожалуй, большинство людей предпочло бы вместо данной лотереи иметь наверняка эту «среднюю» чистоту. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим ту же возможность выбора в терминах концентраций загрязняющих веществ, т. е. готовность рискнуть и 'с вероятностью 0,5 получить увеличение загрязненности на 1/3 частиц/см3 (загрязненность воздуха увеличится в этом случае с 1/6 до 1/2) ради получения с той же вероятностью 0,5 уменьшения загрязненности на 1/15 частиц/см3 (т. е. с 1/6 до 1/10). Такая готовность кажется маловероятной. Наш выбор в пользу получения 1/6 наверняка говорит о "несклонности к риску при использовании данного критерия чистоты воздуха.
Если при рассмотрении функции полезности имеются основания для использования семейства функций полезности, отражающих убывающую несклонность к риску, то мы напомним читателю о довольно широких возможностях, предоставляемых «суммой экспонент» вида
и(х)=— е~ах—с"Ьж, а>Ь. (9.33)
Эти так называемые аддитивно-экспоненциальные функции оказываются вполне приемлемыми в качестве функций полезности для тех диапазонов, которые нас интересуют. Вычислительные
494
аспекты, связанные с конкретным нахождением («подгонкой»)' этих функций на основании экспериментально полученных точек, описаны в работе Шлейфера (1971). И все-таки мы хотели бы здесь отметить, что аддитивно-экспоненциальные функции оказываются неадекватными, когда диапазон их определения становится слишком большим. Здесь необходим теоретически более обоснованный метод интерполяции, хотя при численных расчетах мы вполне можем использовать и эти аддитивно-экспоненциальные функции.
9.7.2. Построение многомерных функций полезности. Проиллюстрируем процесс построения 'многомерных функций полезности для временных потоков и возникающие здесь проблемы на примере построения функций полезности временных потоков потребления на «протяжении жизни» и «остающегося наследства». Структура функций полезности будет взята такой, чтобы удовлетворялись соотношения (9.31); полностью процесс построения описан в работе Ричарда (1972).
Допустим, что нами используется (в свете изложенного в предыдущем пункте) функция полезности Ut индивидуальных лиц в виде аддитивно-экспоненциальных функций, поэтому каждая из функций полезности будет определяться с помощью трех детерминированных эквивалентов. Именно они должны быть экспериментально установлены. Если нам сейчас 40 лет, максимальная продолжительность жизни 100 лет и за период берется один год, то надо построить 120 функций, т. е. определить 360 детерминированных эквивалентов, что, естественно, гораздо больше, чем нам нужно, чтобы выразить свое отношение к этим вопросам. Чтобы несколько уменьшить это число, -мы примем, что наши отношения будут довольно медленно изменяться от года к году, поэтому достаточно, вероятно, будет проводить оценку наших полезностей через 5 лет. В промежутках этих пятилетних интервалов мы можем либо считать, что наши полезности остаются прежними, либо гладко проинтерполировать три параметра а, Ь и с, фигурирующие в выражении (9,33), от года к году. Таким образом, число детерминированных эквивалентов, которые надо найти, уменьшается до 3X24 = 72, что уже более приемлемо.
