Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
'z(l-i/2), если 0 < z < 1/2, <Pt{z) = Iz-t/A, если 1/2 < z < 3/4,
b(l+t)z-i, если 3/4 < z < 1. D
Операция композиции имеет частичные левые и правые единицы, если рассматривать плетения с точностью до изотопии. Действительно, для любой конечной последовательности є длины п, состоящей из знаков ±, зададим плетение id? как объединение п отрезков 326
Глава 10. Узлы, зацепления, плетения и косы
[n] X {0} X [0,1], начала и концы которых однозначно определяются требованием s(ide) = 6(ide) = є. Если последовательность є пуста, то возьмем в качестве idg пустое плетение. Следующая лемма доказывается непосредственным применением преобразования20 Д.
Лемма 10.5.11. Для любого плетения L мы имеем
idb(L) oL-L-Lo ids(L).
10.6. Косы
Теперь мы рассмотрим случай специальных плетений, называемых косами. Зафиксируем натуральное п.
Определение 10.6.1. Коса L из п нитей — это некоторое плетение типа (п,п) такое, что
(i) s(L) = b(L) = (+,+,... ,+),
(ii) L не содержит замкнутых ломаных и
(iii) для всех z E I пересечение L С ПЛОСКОСТЬЮ K2 X {z} состоит ровно из п различных точек.
Другими словами, коса из п нитей — это объединение п попарно непересекающихся простых ломаных линий, связывающих множество [n] X {0} X {1} с множеством [п] X {0} X {0}, на которых «функция высоты», то есть проекция K2 X I —>• I, не имеет ни локальных максимумов, ни минимумов. На рис. 6.1 показана коса из пяти нитей.
По определению две косы эквивалентны, если они получаются одна из другой конечным числом преобразований Д, выполняемых в классе кос. С точностью до эквивалентности коса Рис. 10.6.1. Коса из п нитей представляется тем,
20 Нужно применить также изотопию, «сжимающую» тождественное плетение. — Прим. перев. 10.6. Косы
327
что можно назвать диаграммой косы, то есть диаграммой плетения такой, что для всех z E I пересечение диаграммы с К х {z} состоит ровно из п точек при условии, что точка перекрестка считается дважды. Имеется также понятие изотопности для диаграмм кос, которое получается из аналогичного понятия для диаграмм плетений ограничением на косы. Диаграммы кос изотопны тогда и только тогда, когда они получаются одна из другой движением вершин вверх и вниз с сохранением порядка вершин и перекрестков по высоте, а также деформациями, сохраняющими все горизонтальные прямые. Что касается движений Райдемайстера, то преобразования (0) и (I), очевидно, запрещены для диаграмм кос. Разрешены только движения (II) и (III). Этих движений достаточно для того, чтобы породить отношение эквивалентности кос, о чем свидетельствует следующее предложение.
Предложение 10.6.2. Две диаграммы кос задают эквивалентные косы тогда и только тогда, когда их можно получить одну из другой применением конечного числа движений Райдемайстера типа (II) и (III) и изотопий диаграмм.
10.6.1. Группа кос Bn
В параграфе 5 мы определили композицию L' о L для плетений L, L' таких, что b(L) = s(L'). Из наших определений видно, что композиция двух кос из п нитей снова есть коса из п нитей. Роль специальной косы из п нитей играет коса ide (определенная в конце параграфа 5), где є есть последовательность, состоящая из п знаков +. Обозначим класс эквивалентности этой косы через 1„. Для данной косы L определим обратную косу L~l как зеркальный образ L относительно плоскости K2 X {1/2}.
Обозначим множество классов эквивалентности кос из п нитей через Bn. Множество Bq содержит один единственный элемент, а именно, пустую косу. Применительно к случаю кос лемма 5.10 означает, что композиция кос согласована с отношением эквивалентности кос. Следовательно, композиция задает умножение на Bn. По сути дела, мы имеем следующее утверждение.
Предложение 10.6.3. Композиция кос индуцирует на Bn групповую структуру с единицей In. 328
Глава 10. Узлы, зацепления, плетения и косы
Доказательство. Ассоциативность произведения следует из утверждения (б) леммы 5.10, а лемма 5.11 означает, что In является правой и левой единицей для умножения в Bn. Многократное применение движения Райдемайстера типа (И) дает
L 1 о L ~ In ~ L о I,
откуда класс эквивалентности косы L~l является обратным для класса косы L. ?
Группа Bn была введена Артином [Art25]. Она называется группой кос (из п нитей). Группы Bq = В і изоморфны тривиальной группе {1}.
Теперь мы дадим описание группы Bn с помощью образующих и соотношений. Сначала определим специальные элементы а\, стг, • • ¦ , (тп-\ группы Bn. Диаграмма косы а і показана на рис. 6.2.
Используя плетение Х+, определенное в параграфе 5, получаем, что коса Oi эквивалентна косе
4---4- і... 4-,
переплетающей г-ю и (і + 1)-ю нити, оставляя другие на месте. Обратная коса ст"1 эквивалентна косе
4----4- X- 4----4-,
имеющей противоположное переплетение (см. рис. 6.3). 1 г і +1 п 1 г г -I-1 п
Лемма 10.6.4. (а) Группа Bn порождается элементами а\,... ,crn-i.
(б) Для n ^ 3 « 1 ^ i,j ^ п - 1 е группе Bn имеются следующие соотношения:
UiOj = UjOi, (6.1)
если \i — jI > 1, и
<ji<ji+i<ji = сгг+1Сгг-сгг+1, (6.2)
