Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
если і ^ п — 2. 10.6. Косы
329
Соотношения (6.1), ^6.2) называются соотношениями группы кос.
Доказательство, (а) Представим косу диаграммой. Пошевелив вершины, можно добиться того, чтобы для некоторых 1 < t\ < ... < tr < 1 в полосе К X [ti,ti+1] для каждого г лежал ровно один перекресток. Это означает, что наша коса эквивалентна такой косе, ограничение которой на К X [fj, іг+і] эквивалентно одному из элементов Ok или обратного к нему. Из определения произведения в группе кос получаем, что данная коса представляется в Bn как произведение элементов вида Ok и обратных к ним.
(б) Если |г — j\ > 1, то, очевидно, косы OiOj и OjOi эквивалентны (нарисуйте картинку). Левая и правая части равенства (6.2) представлены на рис. 3.4. От одной диаграммы можно перейти к другой движением Райдемайстера (III). ?
Сформулируем теперь важную теорему, принадлежащую Артину [Art25], [Art47].
Теорема 10.6.5. Для данной группы G и элементов с\,... ,с„_і (n Js 2) таких, что для всех i,j выполнено CiCj = CjCi, если \i — j\ > 1, и
CiCi-^lCi = Ci+idd+l,
если і ^n- 2, существует, и притом единственный, гомоморфизм из группы Bn в G, при котором сTi переходит в Ci.
Следствие 10.6.6. Группа Bn изоморфна группе, порожденной образующими сгі,... ,(Jn-1 и соотношениями группы кос (6.1), (6.2).
Доказательство. Обозначим последнюю группу через G. По теореме 6.5 существует, и притом единственный, гомоморфизм р: Bn —)¦ G такой, что p(cTj) = Oi для всех г. Далее, по определению группы, заданной образующими и соотношениями, существует единственный гомоморфизм р': G —> Bn, отправляющий oi в oi. Ясно, что р' есть гомоморфизм, обратный к р. ?
доказательство теоремы 6.5. Единственность группового отображения следует из факта, установленного в лемме 6.4 (а), что Oi,... , оп-1 порождают Bn.
Теперь докажем существование группового гомоморфизма р : Bn —> —> G такого, что p(oi) = Ci для всех і = 1,... , n — 1. Мы дадим набросок 330
Глава 10. Узлы, зацепления, плетения и косы
геометрического доказательства. Рассмотрим косу L, представленную диаграммой общего положения, как в доказательстве леммы 6.4 (а), то есть для которой различные перекрестки находятся на разных высотах. Такой диаграмме можно корректным образом приписать слово w из образующих CTj и обратных к ним, как в доказательстве леммы 6.4 (а). Положим p(w) равным элементу G, полученному заменой в слове w элементов Oi на Ci, а о^1 — на с~1. Покажем, что элемент p(w) зависит только от изотопического класса первоначальной косы.
Согласно предложению 6.2 мы должны проверить, что p(w) не меняется при изотопии диаграммы и движениях Райдемайстера типов (II) и (III). В первом случае передвижение перекрестков вверх и вниз меняет слово W на коммутаторы вида <ji<jjо~ 1Cj"1, где \г — j\ > 1. Это не меняет значения p{w), ПОСКОЛЬКУ ClCjC^1 Cj1 = 1 для \г — > 1. Движение Райдемайстера (II) приводит к изменению слова, сопоставленного косе, на элементы (Ji<J~l или а~1 аг, образы которых при отображении р равны 1. Под действием движения Райдемайстера (III) слово w меняется на элемент вида сгіОі+іоіо^о^1 V^1 или на обратный к нему. Образы этих элементов при отображении р также равны 1 ввиду соотношения
CjCi+lCj = Cj+1 Ci Cj+1- ?
Нам осталось исследовать случал кос из двух нитей. Применение леммы 6.4 и теоремы 6.5 к этому случаю дает следующее
Предложение 10.6.7. Группа B^ свободно порождается элементом о j и изоморфна группе целых чисел Z.
10.6.2. Представления группы кос, задаваемые А-матрицами
Мы покажем, как теорема 6.5 позволяет строить представления группы кос, исходя из решения уравнения Янга-Бакстера.
Пусть V — векторное пространство, с — линейный автоморфизм пространства 7®Уип>1 — целое число. Тогда для 1 ^ і ^ п — 1 определим линейный автоморфизм Cj пространства V®n по формуле
если і = 1,
если 1 < і < п — 1, (6.3) если г = п — 1. 10.6. Косы
331
Очевидно, что CiCj = CjCi) если |г — j| > 1. Легко проверяется следующее утверждение.
Лемма 10.6.8. В сделанных выше предположениях равенство
CiCi+\Ci = CiJrICiCiJrX
выполняется для всех і тогда и только тогда, когда отображение с является решением уравнения Янга-Бакстера.
В данных выше обозначениях уравнение Янга-Бакстера из параграфа 8.1 можно записать в виде равенства С\С2С\ = сіс\с2, которое должно иметь место в Aut(У ® V <8> V). Следующее утверждение является следствием теоремы 6.5 и леммы 6.8.
Следствие 10.6.9. Пусть с є aut(fisf) — решение уравнения Янга-Бакстера. Тогда для любого п > О существует, и притом единственный, групповой гомоморфизм рсп \ Bn —> Aut(Vl8n) такой, что Pn (аг) = сг для І = 1, . . . , П — 1.
Таким образом, эта процедура позволяет по каждому автоморфизму с пространства V <8 V, являющемуся решением уравнения Янга-Бакстера, построить представление группы кос Bn в тензорном произведении V®", где п — произвольное целое n ^ 2.
10.6.3. Связь с симметрическои группой Sn
Для данной косы L корректно определяется перестановка a(L) множества {1,... , п} такая, что для любого k Є {1,... , п} конечная точка (fc,0,0) лежит на той же нити косы, что и начальная точка (сг(Лг), 0,1). Перестановка a(L) называется перестановкой косы L.
