Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
(Скобка Кауффмана.) Вскоре после открытия Воэном Джонсом многочлена Vl для зацеплений Луис Кауффман [Kau87b] нашел изотопический инвариант оснащенных неориентированных зацеплений, называемый теперь скобкой Кауффмана. Этот инвариант принимает значение в кольце Ъ[х,х~х\ лорановских многочленов. Скобка Кауффмана (^Lj характеризуется следующим образом. Возьмем произвольную диаграмму, представляющую оснащенное зацепление L. Выделим один из
Рис. 10.8.3. Движение Райдемайстера (I')338
Глава 10. Узлы, зацепления, плетения и косы
перекрестков. Определим Lq (соответственно L00) как диаграмму, в которой этот перекресток заменен23 на || (соответственно [={). Тогда скобка Кауффмана задается соотношениями
(l) = a^Lo) +аТ1 ^L00)
и ^О®"^ = (—1)"_1(х2 + х-2)"-1. Многочлен Джонса можно выразить через скобку Кауффмана (см. [Kau87b]).
(Группа кос.) Группы кос были введены Артином в [Art25]. Их задание в виде, обсуждавшемся в следствии 6.6, также принадлежит ему [Art25], [Art47]. Представление, описанное в упражнении 3, было найдено Бюрау в 1936 г. [ВигЗб]. Представление Бюрау является точным для группы кос Дз. В течение долгого времени предполагалось, что представление Бюрау точно в общем случае. Эта гипотеза была опровергнута недавно Муди [Моо91]. До сих пор нерешенным остается вопрос о том, имеет ли вообще группа кос Bn (для больших п) точное конечномерное представление.
(Замыкание косы.) Для произвольной косы сг Є Bn определим зацепление а как
п
a = a U (J ([(*, 0,0), (k, 1,1/2)] U [(к, 1,1/2), (к, 0,1)]). к=1
Зацепление сг, называемое замыканием косы сг, изотопно зацеплению, показанному на рис. 8.4. Александер [А1е23] показал, что любое зацепление в R3 эквивалентно замыканию некоторой косы. Неэквивалентные косы могут иметь эквивалентные замыкания. Определим отношение эквивалентности « на множестве всех Рис. 10.8.4. Замыкание косы кос: сг « сг', если сг и сг' имеют эквивалентные замыкания. Теорема Маркова ([МагЗб], доказательство см. в [Bir74]) утверждает, что и есть отношение эквивалентности, порожденное сопряжением в группах кос и соотношениями вида сг и in(o)onl, где сг Є Bn, а гп есть гомоморфизм из
23 Здесь предполагается, что выделенный перекресток имеет вид X+ без учета ориентации. — Прим. перев.10.9. Добавление. Фундаментальная группа
339
bn в bnJrI, определенный равенством іп(сгі) = сц для г = 1,...,п — 1. Kajc следствие, семейство (/„ : bn С)п>о функций со значениями в с таких, что для всех п и ст, г Є bn имеют место равенства
/„(тсгт-1) = /„(сг) и Zn(cO=Zrn-IMer)CTi1),
корректным образом определяет С-значный изотопический инвариант Z зацеплений в К3, заданный условием f(L) = /„(ст), где зацепление l эквивалентно замыканию косы а Є bn. Этот подход был использован Джонсом при построении многочлена Vl в [Jon85], [Jon87]. Надо отметить, что подход с использованием теоремы Маркова менее элементарен, чем применение движений Райдемайстера.
10.9. Добавление. Фундаментальная группа
Мы кратко напомним определение фундаментальной группы топологического пространства. Положим J = [0,1].
Пусть X — топологическое пространство с отмеченной точкой *. Петля в X с началом в точке * — это некоторое непрерывное отображение f : I X такое, что Z(O) = Z(I) = *¦ Обозначим множество таких отображений через CitX. Для элементов /, g Є CitX определим их произведение fg следующим образом:
Ifm = IfW' если 0 <1/2, \g{2t-l), если 1/2 <1.
Постоянная петля е есть e(t) = *. Обратная петля Z1r петле / определяется как /-1(і) = /(1 — t),t Є I.
Гомотопией от петли / к петле g называется непрерывное отображение h: I х I X такое, что
h(0, •) = /, h(l,-)=g, h(s,0) = h(s,l)=*
для всех S Є I. Если такая гомотопия существует, мы пишем / ~ д. Отношение гомотопности является отношением эквивалентности. Действительно, оно
(а) рефлексивно, так как (s,t) i-> f(t) есть гомотопия от / к /;340
Глава 10. Узлы, зацепления, плетения и косы
(б) симметрично: если h есть гомотопия от / к д, то h( 1 — s, ¦) есть гомотопия от д к /;
(в) транзитивно: если h\ и h2 — гомотопии от /і к J2 и от J2 к /з соответственно, то
єсть гомотопия ot /і к /з-
Обозначим через 7I"l(X, *) множество классов гомотопных петель из Имеет место следующее утверждение.
Лемма 10.9.1. Пусть f,f',f",g,g' — элементы из CitX. Тогда
(а) из / ~ g и f ~ д' следует ff ~ gg',
(б) (//')/" ~ Я/7"),
(в) /е~/~е/,
(г) /Г1 ~ е ~ /-1/-
Доказательство, (а) Если h (соответственно h') есть гомотопия от fug (соответственно от /' к </), то (s,t) і-» (h(s, ¦)h'(s, ¦))(*) есть гомотопия от ff к gg'.
(б) Гомотопия от (//')/" к Я/7") задается формулой
есть гомотопия от /е к /. Аналогично получается гомотопия от е/ к /. (г) Гомотопия от е к //_1 задается формулой
h\(2s, ¦), если 0 < S <1/2, h2(2s — 1, ¦), если 1/2 < S < 1,
(в) Отображение
если 0 < t < ^fi если < t < 1
7(2*), если 0 < 2t < в,
/i(s,?) = f(s), если S < 2t < 2 — s,
w/_1(2i-l), если 2- s < 2t < 2.
Перестановкой / и /-1 получается гомотопия от е к f~1f.