Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
?10.9. Добавление. Фундаментальная группа
341
Тгіким образом, мы видим, что умножение петель задает на 7Гі(Х,*) групповую структуру, в которой единицей является гомотопический класс петли е. Эта группа называется фундаментальной группой топологического пространства X с отмеченной точкой *.
Если X есть открытое множество в Kiv или фактор-пространство
24
такого множества , то в данных выше определениях можно заменить непрерывные отображения на кусочно-линейные или класса С°°. Получим кусочно-линейную и гладкую версии определения фундаментальной группы. Соответствующие группы изоморфны фундаментальной группе, определенной выше.
24 По-видимому, автор имеет в виду фактор-пространство пространства X по свободному дискретному действию некоторой группы. Например, как в случае действия симметрической группы Sn на пространстве Vn из пункта 6.4. — Прим. ред.Глава 11
Тензорные категории
Это первая глава, посвященная тензорным категориям. Как вскоре станет ясно, тензорные категории дают правильную основу для описания представлений алгебр Хопфа, а также топологических объектов, обсуждавшихся в главе 10. Они создают мост между квантовыми группами и теорией узлов.
11.1. Язык категорий и функторов
Мы начнем с элементарных определений из теории категорий. 11.1.1. Категории
Определение 11.1.1. Понятие категории С включает в себя
(1) некоторый класс Ob(C), элементы которого называются объектами категории,
(2) некоторый класс Hom(C), элементы которого называются морфизмами категории, и
(3) отображения
тож д е ственного
морфизма id : Ob(C) —)• Hom(C),
начального объекта s : Hom(C) —)• Ob(C),
конечного объекта b : Hom(C) Ob(C),
композиции о : Hom(C) х0ь(С) Hom(C) —» Hom(C)
такие, что
(а) для любого объекта V Є Ob(C)
a(idy) = b( idy) = V,11.1. Язык категорий и функторов
343
(б) для любого морфизма / Є Hom(C)
и*Ь(Я 0I = I0 іds(/) = /,
(в) для любых морфизмов /, д, h, удовлетворяющих условиям 6(/) = = S(д) и Ь(д) = s(h), имеет место
(hog)of = ho(gof).
Здесь Hom(C) х0ь(с) Hom(C) обозначает класс пар (/, д) состави-мых морфизмов категории, то есть таких, что b(f) = s(g). Общепринятое обозначение для композиции /ид — 9 ° f или gf. Объект s(f) называется начальным объектом морфизма /, a b(f) — конечным объектом. Тождественный морфизм объекта V обозначается через idy. Через Нотc(V,W) мы обозначаем класс морфизмов категории С, для которых V является начальным объектов, a W — конечным. Если / Є Home (V, W), то мы пишем
f : V —ї W или V M W.
Морфизм из объекта V в себя называется эндоморфизмом объекта V. Класс эндоморфизмов объекта V обозначается через End(F). Морфизм / из V в W называется изоморфизмом, если существует морфизм g : W —> V такой, что g о / = idy и / о g = idц/.
Всем знакомы (по крайней мере всеми используются) категория множеств Set и категория групп Gr. Выше мы фактически работали с категорией Vect(к) (соответственно Vectf (к)), состоящей из векторных пространств (соответственно конечномерных векторных пространств) над полем к и линейных отображений. В главе 1 мы использовали категорию Alg алгебр и категорию A-Mod левых А-модулей, где А — некоторая алгебра. Мы также имели дело с категорией коалгебр Cog.
Определим произведение двух категорий CvirD как категорию CxV, объектами которой являются пары объектов (V,W) Є Ob(C) х Ob(P), а множество морфизмов есть
ttomcxv{(V,W),{V',W')) =Eomc(W) х НотV{W,W').
Подкатегория С категории V включает себя подкласс Ob(C) класса Ob(D) и подкласс Hom(C) класса Hom(D), которые сохраняются отображениями тождественного морфизма, начального и конечного объекта и композиции в V.344
Глава 11. Тензорные категории
Дадим два примера категорий, представляющих собой группоиды, то есть категории, в которых все морфизмы являются изоморфизмами.
Пример 1. (Категория, ассоциированная с некоторым семейством групп.) Пусть (Gi)i?i — семейство групп, занумерованных множеством I. Рассмотрим категорию Q, определенную следующим образом:
ОЬ(0) = /
и
{0, если І ф- j, Homg (г, j) = \
I Gj, если i = j,
композиция в Homg (г, г) задается умножением в группе Gi:
goh = gh,
где g, h Є Gi. Заметим, что любой морфизм д в Q является изоморфизмом с обратным <?-1.
В качестве специального случая рассмотрим множество I, состоящее всего из одного элемента 0. Получим группоид Q с единственным объектом и с множеством морфизмов Go-
Пример 2. (Категория изоморфизмов в некоторой категории.) Пусть С — некоторая категория. Если мы положим Ob(Cis) = Ob(C) и возьмем в качестве Hom(Cis) подкласс, состоящий из изоморфизмов в С, то получим категорию Cis, называемую группоидом изоморфизмов категории С.
11.1.2. Функторы и естественные преобразования
Определение 11.1.2. Понятие функтора F: С —)• С' из категории С в категорию С' включает в себя25 отображения F: Ob(C) ОЬ(С') и F: Hom(C) —» Нот(С') такие, что
(а) для любого объекта V Є Ob(C) имеет место F(idy) = idp(y),
(б) для любого морфизма / Є Hom(C)