Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кассель К. -> "Квантовые группы" -> 100

Квантовые группы - Кассель К.

Кассель К. Квантовые группы — Фазис, 1999. — 698 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviegruppi1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 199 >> Следующая


? 10.9. Добавление. Фундаментальная группа

341

Тгіким образом, мы видим, что умножение петель задает на 7Гі(Х,*) групповую структуру, в которой единицей является гомотопический класс петли е. Эта группа называется фундаментальной группой топологического пространства X с отмеченной точкой *.

Если X есть открытое множество в Kiv или фактор-пространство

24

такого множества , то в данных выше определениях можно заменить непрерывные отображения на кусочно-линейные или класса С°°. Получим кусочно-линейную и гладкую версии определения фундаментальной группы. Соответствующие группы изоморфны фундаментальной группе, определенной выше.

24 По-видимому, автор имеет в виду фактор-пространство пространства X по свободному дискретному действию некоторой группы. Например, как в случае действия симметрической группы Sn на пространстве Vn из пункта 6.4. — Прим. ред. Глава 11

Тензорные категории

Это первая глава, посвященная тензорным категориям. Как вскоре станет ясно, тензорные категории дают правильную основу для описания представлений алгебр Хопфа, а также топологических объектов, обсуждавшихся в главе 10. Они создают мост между квантовыми группами и теорией узлов.

11.1. Язык категорий и функторов

Мы начнем с элементарных определений из теории категорий. 11.1.1. Категории

Определение 11.1.1. Понятие категории С включает в себя

(1) некоторый класс Ob(C), элементы которого называются объектами категории,

(2) некоторый класс Hom(C), элементы которого называются морфизмами категории, и

(3) отображения

тож д е ственного

морфизма id : Ob(C) —)• Hom(C),

начального объекта s : Hom(C) —)• Ob(C),

конечного объекта b : Hom(C) Ob(C),

композиции о : Hom(C) х0ь(С) Hom(C) —» Hom(C)

такие, что

(а) для любого объекта V Є Ob(C)

a(idy) = b( idy) = V, 11.1. Язык категорий и функторов

343

(б) для любого морфизма / Є Hom(C)

и*Ь(Я 0I = I0 іds(/) = /,

(в) для любых морфизмов /, д, h, удовлетворяющих условиям 6(/) = = S(д) и Ь(д) = s(h), имеет место

(hog)of = ho(gof).

Здесь Hom(C) х0ь(с) Hom(C) обозначает класс пар (/, д) состави-мых морфизмов категории, то есть таких, что b(f) = s(g). Общепринятое обозначение для композиции /ид — 9 ° f или gf. Объект s(f) называется начальным объектом морфизма /, a b(f) — конечным объектом. Тождественный морфизм объекта V обозначается через idy. Через Нотc(V,W) мы обозначаем класс морфизмов категории С, для которых V является начальным объектов, a W — конечным. Если / Є Home (V, W), то мы пишем

f : V —ї W или V M W.

Морфизм из объекта V в себя называется эндоморфизмом объекта V. Класс эндоморфизмов объекта V обозначается через End(F). Морфизм / из V в W называется изоморфизмом, если существует морфизм g : W —> V такой, что g о / = idy и / о g = idц/.

Всем знакомы (по крайней мере всеми используются) категория множеств Set и категория групп Gr. Выше мы фактически работали с категорией Vect(к) (соответственно Vectf (к)), состоящей из векторных пространств (соответственно конечномерных векторных пространств) над полем к и линейных отображений. В главе 1 мы использовали категорию Alg алгебр и категорию A-Mod левых А-модулей, где А — некоторая алгебра. Мы также имели дело с категорией коалгебр Cog.

Определим произведение двух категорий CvirD как категорию CxV, объектами которой являются пары объектов (V,W) Є Ob(C) х Ob(P), а множество морфизмов есть

ttomcxv{(V,W),{V',W')) =Eomc(W) х НотV{W,W').

Подкатегория С категории V включает себя подкласс Ob(C) класса Ob(D) и подкласс Hom(C) класса Hom(D), которые сохраняются отображениями тождественного морфизма, начального и конечного объекта и композиции в V. 344

Глава 11. Тензорные категории

Дадим два примера категорий, представляющих собой группоиды, то есть категории, в которых все морфизмы являются изоморфизмами.

Пример 1. (Категория, ассоциированная с некоторым семейством групп.) Пусть (Gi)i?i — семейство групп, занумерованных множеством I. Рассмотрим категорию Q, определенную следующим образом:

ОЬ(0) = /

и

{0, если І ф- j, Homg (г, j) = \

I Gj, если i = j,

композиция в Homg (г, г) задается умножением в группе Gi:

goh = gh,

где g, h Є Gi. Заметим, что любой морфизм д в Q является изоморфизмом с обратным <?-1.

В качестве специального случая рассмотрим множество I, состоящее всего из одного элемента 0. Получим группоид Q с единственным объектом и с множеством морфизмов Go-

Пример 2. (Категория изоморфизмов в некоторой категории.) Пусть С — некоторая категория. Если мы положим Ob(Cis) = Ob(C) и возьмем в качестве Hom(Cis) подкласс, состоящий из изоморфизмов в С, то получим категорию Cis, называемую группоидом изоморфизмов категории С.

11.1.2. Функторы и естественные преобразования

Определение 11.1.2. Понятие функтора F: С —)• С' из категории С в категорию С' включает в себя25 отображения F: Ob(C) ОЬ(С') и F: Hom(C) —» Нот(С') такие, что

(а) для любого объекта V Є Ob(C) имеет место F(idy) = idp(y),

(б) для любого морфизма / Є Hom(C)
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed