Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
s(F(f)) = F(s(f)) и b(F(f)) = F(b(f)),
25 Здесь дало определение ковариантного функтора. Вместо понятия контравари-антного функтора автор предпочитает использовать термин «функтор в противоположную категорию». — Прим. перев. 11.1. Язык категорий и функторов
345
(в) если f,g — составимые морфизмы категории С, то выполнено
F(9°f) = F(g)oF(f).
Очевидно, что если F: С С' и G: С' С" — функторы, то композиция GF есть функтор из С в С". Для любой категории С существует функтор idc, называемый тождественным функтором на С, который тождественен на всех объектах и морфизмах из С. Отображение включения подкатегории является функтором.
Определение 11.1.3. Пусть G, F — функторы из категории С в категорию С'. Естественным преобразованием Т] функтора FbG (мы пишем rj: F G) называется семейство морфизмов rj(V): F(V) —>• G(V) в С', нумерованных объектами V категории С, такое, что для любого морфизма / : V W в С квадрат
F(V) G(V)
Hf)
G(f)
F(W) G(W)
коммутативен.
Если, кроме того, для любого объекта V из С морфизм Tj(V) является изоморфизмом в С', то мы говорим, что rj: F —ї G есть естественный изоморфизм.
Если rj: F G — естественный изоморфизм, то набор всех морфизмов Tj(V)'1 задает естественный изоморфизм г?-1: G —» F. Далее мы определяем важное понятие эквивалентности категорий.
Определение 11.1.4. Пусть F: С ^ V — некоторый функтор. Тогда F называется эквивалентностью категорий, если существуют функтор G : V С и естественные изоморфизмы
77: idV-* FG и 0: GF-Mdc.
Теперь мы дадим полезный критерий того, что функтор F: С —ї V есть эквивалентность категорий. Для начала скажем, что функтор 346
Глава 11. Тензорные категории
F: С —>¦ V является существенно сюръективным, если для любого объекта W из rD найдется объект V категории С такой, что F(V) = Wb rD. Функтор F называется точным (соответственно вполне точным), если для любой пары (V, V') объектов категории С отображение на мор-физмах
F: Home(V, V') -» Homa>(F(V), F(V')) инъективно (соответственно биективно).
Предложение 11.1.5. Функтор F: С —)• V является эквивалентностью категорий тогда и только тогда, когда F существенно сюръек-тивен и вполне точен.
Доказательство, (а) Предположим, что F есть эквивалентность. Тогда существует функтор G: Т> —» С и естественные изоморфизмы т]: idx> FG и в: GF —> idc. Первый изоморфизм означает, что W = F(G(W)) для любого объекта W из Т>. Другими словами, F существенно сюръективен. Теперь рассмотрим морфизм / : V —> V' в категории С. Квадрат
GF(V) V
GF(f)
GF(V) V
коммутативен. Отсюда, если F(f) = F(f'), а значит, и GF(f) = = GF(f'), то мы имеем / = /'. Следовательно, функтор F точен. Используя аналогичным образом естественный изоморфизм г\, доказываем, что G также точен. Теперь рассмотрим морфизм g : F(V) F(V). Покажем, что g = F(f), где / = O(Vt) о G(g) о O(V)-1. Действительно,
O(V) О GF(f) О O(V)-1 = / = O(V) О G(g) о O(V)'1.
Следовательно, GF(f) = G(g). Так как функтор G точен, получаем g = F(f). Это доказывает, что F вполне точен.
/ 11.1. Язык категорий и функторов
347
(б) Пусть F — существенно сюръективный и вполне точный функтор. Для любого объекта W категории Т> выберем объект G(W) в С и изоморфизм T](W): W FG(W) в V. Если д : W —)• W' — изоморфизм в V, то мы можем рассмотреть композицию
Tj(W) одо Tj(W)-1: FG(W) ->¦ FG(W).
Так как функтор F вполне точный, существует, и притом единственный, морфизм G(g) из G(W) в G(W) такой, что
FG(g) = Tj(Wt) одо T1(W)'1: FG(W) ->• FG(W).
Легко проверить, что таким образом определяется некоторый функтор G из категории V в С, а отображение т]: id-p FG является естественным изоморфизмом. Чтобы показать, что FnG являются эквивалентностями категорий, осталось только найти естественный изоморфизм в : GF idc- Для произвольного объекта V Є Ob(C) определим O(V): GF(V) —)• V как единственный морфизм такой, что F(6(V)) = ^(F(V))-1. Нетрудно проверить, что эта формула задает естественный изоморфизм. ?
Следствие 11.1.6. Пусть С — некоторая категория, С' — подкатегория в С такая, что любой объект категории С изоморфен некоторому объекту из С', и такая, что для всех V,V' є ob(c') мы имеем Homc(Vr5V) = Homc(V5V)- Тогда включение С' в С является эквивалентностью категорий.
Отсюда мы получаем следующие примеры эквивалентных категорий.
Пример 3. (Группоид GL(Ik).) Пусть GLn(Ik) — группа обратимых матриц порядка п с элементами из поля к. Положим GLo(k) = {1}. Как в примере 1, ассоциируем с семейством (GLn(k))nj>o группоид, обозначаемый через GL(k). Согласно приведенному выше следствию категория GL(k) эквивалентна группоиду (Vect/(k))JS всех конечномерных векторных пространств над к, морфизмами в которой являются линейные изоморфизмы. 348
Глава 11. Тензорные категории
Пример 4. (Группоид S.) Пусть Sn группа перестановок конечного множества {1,2,... ,п}. Положим Sq = {1}. Снова применяя конструкцию примера 1, получаем группоид S. Категория S эквивалентна группоиду (Setf)is конечных множеств, морфизмами которых являются биекции.
