Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
97
поверхностью. В частном случае плоской задачи будем считан что тело
ограничено цилиндрической поверхностью с направляю щей в виде гладкой
выпуклой кривой, а образующие цилиндра процессе взаимодействия
параллельны граничной плоскости по лупространства.
В соответствии с обозначениями § 1.1 положим, что Gj-
полупространство, (?2 = G -геометрическая область,
занимаема
падающим телом (рис. 3.1). Множество G, ограничено плоско
стью dGj = П10, а обласп
G - поверхностью 6G =ч = П20 = П0. Касательная
плоскость Р в этом слу| чае совпадает с плоскость" П10: Р = П01. Для
описа
ния движения полупроС' транства достаточно отождествить криволинейнуК
систему координат
, а также систему
(см. § 1.3), с инерциальной декартовой системой ^ = jp = х.
Cj = О. При этом уравне' ние граничной плоскости
Рис. 3.1. Удар абсолютно жесткого тела по
полупространству
П10 имеет вид:
х3 = 0. В
обозначениях криволинейной системы ^2\ |^2\ и связан
ной с ударником декартовой системы координат С^2^2^2^
опустим верхние индексы и у^ = y}j, сохранив обозна
чения базисных векторов е^2\ В соответствии с (1.20) будем! считать, что
поверхность П0 задана параметрически. следующим! образом:
по: ТУ = ryn?v h) = xfiv h)ei n0- jy-Xj(?i> ?2)' ^i' ^2) ^
,(2)
(3.1)
r =r^
Гу Гу .
уП
= r(2) y(2) = у
yXl' ЛПj Ay
Движение полупространства как абсолютно твердого тела j отсутствует.
Поэтому операторы iP^ и в (1.25) тождественно !
98
г
но равны нулю: iP^ = О, = 0. И безразмерные уравнения движения
однородного анизотропного упругого полупространства, определяемого
операторами L& и ЛГ<2), в соответствии с (1.26) и (1.82) имеют вид
d2Uj , ди.
- = У "т. Чти TZT = Окт, (3.2)
bmij dxjdxi r т' kmij fa. km j/1) = и = UjCj.
К уравнениям (3.2) необходимо добавить нулевые начальные условия
(1.35)
и- I = U А
=0, (3.3)
|'Т-0 '|т=0
условия ограниченности решения на бесконечности, а также краевые
условия на плоскости П10, которые рассмотрим ниже.
Ударник является недеформируемым. Поэтому операторы
iP^ и JV<2> в (1.25) тождественно равны нулю: iP^ = 0,
= 0. А движение ударника определяется операторами iP^ и
N?\ которые согласно (1.30)-(1.32) запишем в безразмерном виде так:
тй = R + R, L + [со, L ] = Af + М,
с е с с е
"с = ЦсЛ' <° = "А = °>у& '
,(2)
i '
Lc = Iicoyle\ ^ + 2е2 ^ + ЬшуЗеЗ ^
Me = M0e~ М = MQ - [ис, R);
(3.4)
<р = а>3 - (ctjj sin <р + а"2 cos <p)ctg
= (a)j sin <p + a)2 cos ^>)/sin #,
(3.5)
# = cyj cos y> - a>2 sin <p',
(соу 1, 0>y2, coy3) = (соv co2, co3)B\ В = (P.j)3x3,
/?n = cos <p cos xp - cos sin xp sin f,
ftl2 = sin xp cos у + cos # cos ^ sin /J13 = sin
sin <p,
@2i - -cos ip sin tp - cos f> sin xp cos <p>
$22 = ~Sin V sin <p + cos # COS Ip COS <p, @23 =
s*n ^ cos
P3l = sin sin xp, fi32 = -sin x) cos xp, fi33 =
cos ti.
(3.6)
4*
99
При записи соотношений (3.4)-(3.6) дополнительно к (1.81) я (1.99)
использованы следующие безразмерные величины:
"<2>L
*
т =5 --, 1, = -о> =-------------,
R =
т2 ^ ^ V*
рЛ' II
-Г*
К(2) м- ,
р С р с L
г * * ~ * * *
(3.7)
Система уравнений (3.4)-(3.6) должна быть дополнена начальными
условиями (1.34):
"с --- **сО II ^0- <P ,=0 =
т=0 О
II
= V'o- *1 0 u m - 0---0.
r=0 u j T =
V0 = vofp Hc0 = UcOiei' tt>0 = fll
Oi i •
(3.8)
Из всех возможных условий контакта ударника и полупространства (см. § 1.2
и 1.4) ограничимся двумя предельными случаями. Положим, что по всей
смоченной поверхности происходит контакт без трения (свободное
проскальзывание) или в условиях жесткого сцепления. Кроме того, в
линейной постановке область контакта Q отождествим с плоской областью (Q
С П10), что соответствует
снесению граничных условий на плоскость П10.
Тоща для рассматриваемой задачи в случае свободного проскальзывания
из (1.49) получим следующие граничные условия:
*з=°
33
*3=0
= w3 = (Uc + Гуп, е3), (XpX^eQ, = 0 (*j, х2) ? ?2, а
13
*з=0
23
*3=о
0,
(Xj ,x2)GR2,
^1* " ^2* ~ л1* ~ ~п2* ~еУ ~ а\Ъе\ + а23е2'
