Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
кЪ к2 О
кг Къ Чг о " +
_____Д ак?к2^кЗ @к _ _
/2 2.
т2) УА + ав> =
'г >'
2 Tj.Z, - 1
(5?.. = г,, -р------------------- >0 (J = 2, 3),
(2.127)
т z^-r
^к2ёкЗ~Хкек' ^к2 + ^кЗ " Хк^к
где z2 и z3-корни многочлена P3(z, 1) (2.70).
При к = кл Ш2 = 0, а4 =/З2, z2 = z3 = a2 см. (2.125) и (2.75))
многочлен Q2^u) имеет два равных между собой
отрицательных действительных корня. Непосредственное вычисление J2k^r' т)
показывает, что и в этом случае справедлива
2 2
формула (2.126). При этом выражение для функции %k(r ,х ) упрощается и
имеет следующий вид:
Х^(г > т ) - " 2~2 2^12 *
(a t - г у
ъ/ + сктЧа\\ - 1 - (г" - r)Y
/>2(Л г2) - (а2т2 - г2)2, Р2(1,>;|) = (а2>;|-I)2, (2.128)
Л*(г2, *2) = ("2^ - i)("2^2 - Л sk(r2, т2) = Vplk(r2,7),
Q[k(r\ т2) - ~(bka2 + ск)(а2т2 - г2).
Подставляя в (2.121) выражения для интегралов /j(r, т) и /2(г, г),
вытекающие из формул (2.123) - (2.126), получим окон-90
и .тельно решение осесимметричной задачи Лэмба GJr, г) в г ; дующем виде:
2
GJr, т) = ^ GJr, т)Н(т - Vkr),
*=1 (2.129)
Gak^ - с\т2)-+гП + Хк(г\ x2).
2лг]
Сравнение решений плоской (2.67) и осесимметричной (пространственной)
(2.129) задач Лэмба показывает, что они имеют различные сингулярные
особенности. В последнем случае степенная особенность имеет порядок (-
3/2), и носитель ее расположен
фронтом волны Рэлея. Сближение характера особенностей в п/сской и
осесимметричной задачах, как показано в дальнейшем (;м. § 6.1, 6.2),
будет иметь место в ядрах интегральных
представлений перемещений типа (2.11).
Подробное исследование осесимметричной задачи Лэмба, как о:мечено в
начале главы, проведено во многих работах. Однко п итательное решение
имеет либо асимптотический характер, ::и>5о содержит интегралы.
§ 2.9. Функции влияния для акустической среды
\кустическая среда является частным случаем упругой изотропной среды,
как отмечено в § 1.6. Следовательно, полученные ранее результаты для
функций влияния могут быть перенесены на акустическую среду после
выполнения предельных переходов npsi г]2 -* оо (к -*¦ 1; с2,ц-* 0).
А.. Изображения функций влияния (§ 2.3). Из формул (1.99), (? 19),
(2.44), (2.46) и (2.48) имеем асимптотические формулы при г}2 -* оо:
k2{p, s2) = rj2s + o(tj2), Р2 = у2lr}\,
к3(р, s2) = к] + о(к2) = rj\s2 + o{rj2),
(2.130)
Kj(p, s2) = ~kx{p, s2)k2(p, a2) + o(k2) = -r)2skx{p, s2) +
o(t]2),
R2(p, s2) = k3(p, s2) + o(k2) = k2(p, s2) + o{k\) = rj2s4 +
o(t]%).
^огда формальный предельный переход при ?72 00 (/с -*
1) в
Формулах (2.46)-(2.51) приводит к следующим результатам для
изображений функций влияния для акустического полупростран ства:
при х3 * О
<з ~ ^пп.зз = Е\ (и - 1> 2, 3; / = 1, 3),
f-JFL _ r\FL _ r2FL _ _ lpj F
U/,3 3,/ " /,33 'y2s *
2 2 k
ripL - _ZJLjt r2FL - _ 1 Tf
n
/ш,3 " t l' 3,33 ~ 2 2 1'
(2.131)
у S
r\ FL _ r2FL _ rl FL _ rl FL _ rlFL _ rlFL _ r2FL
_
jk ~ n,j3 ~ jk,m ~ 1 J3,m ~ 1 33,/ ~ 1 12,3 ~ 1 jk,
n3 ~
p2FL r\2FL p2FL r3//. p3h/. n / ¦ "
<
~ J3,n3 ~ *33,/3 ~ 12,33 ~ *12,3 ~ '/3,3 ~ 0 (j,k, m
~ I),
при x3 = 0
f-,lOFL _ ГШЯ _ r20FL _ r20FL _ д , о
^r,n ~ Gn,r ~ n3,r3 ~ V3,"3 " rn V ' n " 1>
2, 3),
r30FL _ , J-2QFL _ __ l_ WO/У, _____________________1____ ,, ,
T
33 ' 3,33 ~2V lnn,3 ~20M, " ~
У S 3,33
n20FL _ ~20/Z -ЗОЯ. LPj
n , "ч
3,/3 = -G/,33 = "22" °/.3 = T'
(2Л32)
у S *1
/-i2QFL ^2 , , . . .
/,/3 ="Д2 + °(^) (J?2^<3°)>
r10/-L _ ^lOW. _ r\0FJ. _ /-ilOFl _ r'0iX _ рЮЯ. _
r107-'/. _
1,2 ~ 2,1 " u/,3 " (J3,/ ~lj3,m ~
133,/ "
IWX _ r20FL _ p20FL " r20/Z- _ r20/L _ , .3C/-Z _ r30F/"
