Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
-пред-ляются упругими постоянными среды:
= (готЗиз)> *401 = (спвпО' А02 ~ ^с"3"г)' DH ~ А01 + А01'
в
12
А02 + А02' *011 " (Cmlnl)' -°012 " *021 - (ст1и2)'
022 (ст2п2)'
(2.20)
49
Задача на собственные значения для системы обыкновенны;
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентам] имеет вид
2 2
ID.X2-iXy р D, -У p.p Dn. -y2s2E I =
| 2 Zj ит Im Zj yjym 0jm 1 \
m= 1 y,m=l 'j
=2 an(pvpvs)x6~m=i n=0
1
2 2 <i.2i:
(B2Af - 2 - 2 P/W - A2*) r, ~ 0,
m= I j,m= 1 '
У i= (Y11' У2i' УцУ (/= 1,2,..., 6),
где E-единичная матрица, символ "т" обозначает onepai
транспонирования, -ортонормированная система собствен!
векторов, отвечающих корням Х^.
Анализ структуры характеристического уравнения (2.21) по казывает,
что его корни X{j>vp2,s) являются однороднь
ми функциями 1-й степени, а коэффициенты многочлен an(PvP2,s) -
однородные многочлены п-й степени.
системы алгебраических уравнений в (2.21) следует, что вектор Y[
(Pj, р2, s)-однородные функции нулевой степени. Матриц
DV Dlm' D0тт И ^012 + ^021)-симметрические' ПоэтомУ сред корней
имеются три корня, отвечающие затухающему ре
шению системы (2.21) при -* ": ReX{ < 0 (/=1,2, 3).
Тоща ограниченное на бесконечности решение системы урав нений (2.19)
можно записать так: з
U=ZClYle^, (2.22
Здесь С{-произвольные постоянные относительно переменной
Они определяются из граничных условий (2.14), (2.15) или (2.16>|
которые в пространстве преобразований соответственно имеют вк
*з=0
-"I* S
*з=0
= д
к>
(2.24)
х3=°
*з=°
-оЕ
23
*з=0
= О, X
= б,. (2.25)
При записи условий (2.23)-(2.25) использованы следующие изображения
дельта-функций:
[<5(x1,x2)]f=1, [5(T)f=l.
(2.26)
Векторы S, Sj и X, как вытекает из (2.19) и (2.22),
определяются следующими формулами (суммирование по греческим индексам не
производится):
з з з
s = 2ciу\а) si = 2 с/^а1) *=2 c/yiw)
/=i
/=i
2
У? = '(*Мв - *2 РтА0т)Уа' Уа1] = (BlK ~ 12 Лп^От)^'
4 т=1 ' 4 т=1 '
(2.27)
. *",?> + + (Ез - ,2 1Г<1,
L т=1
Г? - (rft. (r) "§)Т. Г<"> - (*>. *"¦ ">)
Удовлетворение граничным условиям (2.23), (2.24) или (2.25) (индекс /
принимает значения 1, 2, 3 в соответствии с
нумерацией типов функций влияния) приводит к системам линейных
алгебраических уравнений относительно Cj, С2 и Су
ЛуС - с - (Cj, Cj, Cg), | Aj | - l,
Л1 = (Ур Yv Уз)' Л2 = (y(iCT)> У2СТ)> Узст)) > лз=
-Aj + ^Ap
(2.28)
к = 1, 2, 3 при /=1,2 и к = 3 при j = 3.
Отметим, что матрица Aj ортогональная. Определяя констан-Ты Cj, С2, С3
и подставляя их в формулы (2.22) и (2.27) для
51
векторов U, S и Sx, найдем изображения функций влияния j-t типа
(суммирование по индексу к не производится):
поллительные миноры к элементам, стоящим в &-й стрроке и 1-\ столбце
матриц 1
Формулы (2.29) дают явные выражения для изображена функций влияния
для полупространства. Однако найти точны значения оригиналов этих функций
прежде всего из-за сложносн уравнения (2.21) не представляется возможным.
Изображен^ функций влияния при некоторых значениях параметров преобра
зования Фурье Pj и р2 будут использованы в гл. 3. В литерат
известны методы вычисления оригиналов (2.29) лишь специальных граничных
условий, соответствующих автомодель задаче [298], где использовано
специальное преобразова Радона.
Покажем, что рассмотрение анизотропных сред с различи] свойствами
симметрии (кроме изотропной), а также перехо задачам меньшей размерности
(плоским или осесимметричн фактически не упрощает задачу вычисления
оригиналов. Проя! ляются лишь некоторые свойства функций ап(рх, р2, s),
явл!
ющихся коэффициентами характеристического уравнения (2.21),
Исследование определителя (2.21) показывает, что имев место
специальная функциональная зависимость от параметре Pj, р2 и s
коэффициентов ап и корней Х( в пространственно
задаче для следующих случаев симметрии анизотропной сред) (см. § 1.5):
ось симметрии второго порядка Ох3 (см. (1.68))
