Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
диапазонах скорости движения нагрузки и наличие разрывов при скорости,
равной скорости волн Рэлея. В статье [279] в аналогичной задаче в
пространстве преобразований Лапласа использована теорема взаимности
Бетти-Рэлея. В
42
работе [94 ] с использованием функций влияния рассмотрен произвольный
закон движения сосредоточенной нагрузки. Результаты получены для
равномерного и равноускоренного движения.
Учет трехмерного характера возмущений, вносимых движущейся
сосредоточенной нагрузкой, дан в [250, 253, 254, 296]. В статье [128]
решена осесимметричная задача о равномерном расширении окружности, на
которой сосредоточены нормальные напряжения. Обращение интегральных
преобразований Лапласа и Ханкеля проведено асимптотическими методами.
Использование моделей сред с усложненными свойствами (вязкость,
неоднородность, анизотропия) даже в рамках линейной теории приводит к
существенному увеличению математических трудностей. Число публикаций,
например, для вязкоупругих сред невелико. В работе [31 ] исследована
плоская задача типа Лэмба для среды с вольтерровскими соотношениями между
напряжениями и деформациями с ядрами релаксации экспоненциального вида.
Приведено асимптотическое решение. В [241 ] рассмотрена задача о
равномерном движении по поверхности полупространства сосредоточенной силы
для упруго-вязкой среды Больцмана. Указано на существенное влияние вязких
эффектов. Дано сравнение с идеально упругой средой.
Трудности решения задач для изотропных неоднородных сред обусловили
тот факт, что решение, как правило, строится для частных случаев
неоднородности. В работе [296 ] рассмотрена задача о движении по границе
упругого полупространства сосредоточенной силы. Зависимость модуля сдвига
и плотности среды от глубины определяется степенной функцией. В случае
четного показателя степени неоднородности интегралы обращений
преобразований Фурье и Лапласа находятся с помощью метода Каньяра. В [301
] предполагается, что функция, определяющая зависимость модуля сдвига от
глубины, имеет характер нормального закона Гаусса и неоднородность мала.
Наряду с интегральными преобразованиями используется метод малого
параметра. В статье [3] получено асимптотическое решение задач типа Лэмба
для акустического полупространства со скоростью звука, пропорциональной
глубине. Показано, что на фронте волны конечный скачок может переходить в
логарифмический разрыв. В [4] рассмотрена задача Лэмба при условии, что
скорости распространения волн в среде имеют отрицательные производные по
координате, соответствующей глубине полупространства. Для решения
использованы специальные интегральные преобразования. Подынтегральные
функции в интегралах обращения задаются как решения некоторой системы
обыкновенных дифференциальных уравнений. На основании построенной
асимптотики решений этой системы получено приближенное решение в
окрестности волнового фронта.
43
Во многих случаях возникает необходимость рассмотрения слоистого
упругого полупространства, составленного из конечного или бесконечного
числа однородных слоев с границами, параллельными внешней плоскости. Это
вызывается либо структурой реальных объектов, либо соответствующей
дискретизацией непрерывно неоднородной среды. Точное решение
нестационарных задач в этом случае серьезно осложняется появлением
эффектов отражения и преломления волн на границах раздела. И чем больше
имеется слоев, тем значительнее трудности. Поэтому основные известные
результаты для кусочно-однородных полупространств получены для малого
числа слоев, либо учитывается отражение и преломление лишь первых
элементарных волн, либо принимаются специальные гипотезы о структуре
среды: периодичность слоев, малое отличие их свойств, использование
моделей меньшей размерности.
Динамика упругого слоя, покрывающего полупространство, j рассмотрена
в статье [192]. Решение получено в виде разложения по степеням двух малых
параметров: толщины слоя и отношений модулей сдвига упругих сред. В [232]
в случае ; действия сосредоточенной нормальной силы полагается, что
полупространство покрыто инерционным слоем. Эта упрощенная модель
позволила так же, как и для однородного полупространства, применить
традиционные методы интегральных преобразований. В работе [302] построено
асимптотическое решение плоской задачи типа Лэмба для полупространства, у
которого модуль сдвига есть кусочно-постоянная функция глубины. В статье
[293 ] для аналогичной задачи использован алгоритм численного обращения
преобразования Фурье, а также построены асимптотики по времени в
окрестности нуля и бесконечности.
Для однородных анизотропных сред задачи типа Лэмба рассмотрены лишь
для специального вида тензора упругих постоянных. Среда с четырьмя
константами исследована в [238].
В работе [164] дано решение задачи Лэмба для среды с тремя упругими
константами. Показано, что скорость волн Рэлея является функцией всех
трех упругих постоянных. В [242, 243] с помощью интегральных
