Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
O-yi
п
= 0. (2.10)
п
В этом случае для определения нормальных напряжений а330 на
поверхности Пц имеем следующее интегральное уравнение:
И30^Г ^2' "
= / dt JY a330^r ^2' ^3°33^1' ^2' Т' ^2' ^ ^S' ^.11)
о п
и
Оператор, обратный к (2.11), в случае граничных условий
(2.10) не может быть построен с помощью функций влияния
первого или второго типа. Назовем перемещения G?, = и и
/"0 J
напряжения Г^.3 = ст^., удовлетворяющие уравнению (1.26), начальным
условиям (1.35) и граничным условиям вида
ы3
п - <5(?i 0" а1з|п - а2з|п
" (r)"
(2.12)
Функциями влияния третьего типа.
Тогда перемещения и напряжения среды определяются формулами (2.5), где
необходимо зафиксировать индекс к = 3. Если операторы, определяющие
начально-краевую задачу, являются дифференциальными с постоянными
коэффициентами, то имеет место упрощение интегральных соотношений,
аналогичное (2.7). Напряжения ст330 на границе П области G выражаются
через
перемещения с помощью оператора, обратного к (2.11):
°330^Г ^2' Т) =
= / dt // "30(?1> ?2 *)*33,З^Г ^2' Г' ^2' ^.13)
о п
47
Отличие интегральных соотношений (2.11) и (2.13) заключается в том,
что носитель функции в общем случае
неизвестен. Однако в некоторых специальных случаях, которые будут
рассмотрены в следующих главах, формула (2.13) мбжет быть использована
для исследования напряжений ct33Q.
Несмотря на простоту указанных интегральных соотношений
непосредственное их использование в конкретных задачах существенно
затруднено прежде всего в связи с построением функций влияния. Основные
результаты в этой области достигнуты для того случая, коща система
координат , ?2 , ?3-прямоугольная
декартова. Поэтому далее, имея также в виду класс контактных задач,
рассматриваемых в монографии, остановимся на функциях влияния для
полупространства.
§ 2.2. Функции влияния для упругого
анизотропного полупространства
Пусть упругая однородная анизотропная среда занимает полупространство
G: > 0, где Ох^х^х^-прямоугольная декарто-
ва система координат. Граничная поверхность бесконечной области G-
плоскость П: х3 = 0. В безразмерном виде уравнения
движения среды имеют вид (1.82). Тогда функции влияния первого типа и
соответствуют граничным условиям (2.3):
и(. _ - d(xv х^)д(х)ды, (2.14)
хг~°
л
функции влияния второго типа G.^ и Г^3 соответствуют (2.4) "5(Xj,
х?)Ь(т)ды, (2.15)
°/з
а а '
з для функций влияния третьего типа G., к Г.. , получим
IJyi
- СГ2Л
х =0 "
Лз з
= 0. (2.16)
х =0
U;\ - И;
1 Ь=о
<5(xv х^д(с), <713
Начальные условия нулевые:
= 0. (2.17)
т"0
На бесконечности возмущения отсутствуют.
Для решения соответствующих начально-краевых задач используем
преобразование Лапласа по времени т и двойное преобразование Фурье по
пространственным переменным и
*2 (значки L и F указывают на изображения; s, и
48
р2-параметры преобразований Лапласа и Фурье соответственно;
i-мнимая единица) (116, 182, 183]:
00 )
/*(*) =/Ят)е'яЛ
О
/г (РрР2) = J7 Hxv хт> е'0',л'+РЛ)йх1(/х2.
(2.18)
В пространстве изображений уравнения движения среды : .82) с учетом
начальных условий (2.17) запишем в матричном
зкде
2
2
m= 1
°г"' - <2 p^jr - 2 v.V ' rtv.
j,m= 1
2 2
s - 02U - .'X /V""(tm)". s, <2 "От".
m= 1 m= 1
2
X - bPs + EjU = D°2u' + (e3 - ? РтА<Ц U,
(2.19)
m=l
("И К? к Kf
¦f- к • s=°5 ¦ si= "5 • *- "2
К?, k $
?3 - (<5^3)3x3, ?° - E Ey
Здесь штрих обозначает дифференцирование по переменной V '^ik- символ
Кронекера. Матрица /?3 имеет единственный
ненулевой элемент, рэаный 1 и стоящий на пересечении третьих строки и
столбца. Матрица ?° имеет два отличных от нуля, ранчых 1, элемента,
являющихся первыми диагональными
элементами. Значком "О" обозначены матрицы А0 = еРа. Матриц В2, Dlm,
Dojm, А0т, В} и В0т размерности 3*3
