Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
преобразований исследована нестационарная плоская задача о равномерном
движении по поверхности полупространства сосредоточенной силы. Показано,
что аналитическое решение может быть получено лишь для частных случаев
упругих констант. В статье [277 ] применительно к теории трещин
рассмотрена задача о неравномерном движении состредоточенной силы по
границе, разделяющей упругие анизотропные слой и полуплоскость.
Имея в виду степень разработки проблемы в настоящее время, в этой
главе рассмотрим функции влияния только для однородных анизотропных и
изотропных упругих и акустических сред.
44
§ 2.1. Интегральные соотношения в линейных нестационарных задачах
Пусть сплошная среда занимает область G, ограниченную поверхностью П
= dG. В некоторой ортогональной системе координат , ?2, ?3 поверхность П
является координатной ?3 =
= | = const. Движение среды определяется линейным операто-
ром (1.26), связанным с выбором модели среды, и начальными условиями
(1.35) или, возможно, соответствующими неоднородными условиями.
Рассмотрим сначала два основных типа граничных условий. На поверхности П
заданы перемещения (1.55)
п*"ю(М2'т) = 1, 2, 3), (2.1)
или напряжения (1.56)
jn = ^2'х^ = ^ ^), И1 = п2 = 0* nz = 1- (2.2)
Перемещения G1. к - и. и напряжения Г^к = о^. (физические
компоненты вектора перемещений и тензора напряжений), удовлетворяющие
уравнению (1.26), начальным условиям (1.35) и граничным условиям вида
и.
и.
п = <5(1!')<?** (2.3)
назовем функциями влияния первого типа.
Здесь <5(|j, |2) и <5(т)-дельта-функции Дирака, <5fa.-символ
Кронекера.
Перемещения G2. къ = и. и напряжения Г^. ^ = о{., удовлетворяющие
уравнению (1.26), начальным условиям (1.35) и граничным условиям вида
°i2
п = 5(11-е1,12-г:2)"5(т-озь. (2.4)
назовем функциями влияния второго типа.
Тогда в силу линейности рассматриваемых операторов напряженно-
деформированное состояние среды, соответствующее граничным условиям
(2.1), можно представить так [182]:
и/? 1' %2' ^3'т) =
= / ukof&V t>2' WjA' h' r; ^1' ^2' ^ ^S' (2.5)
°lf§V ^2' ^3' ='
T
= I dtf f %2' Wlj,$V ^2' ^3' i; ^1' ^2'
О П
45
Соответственно для граничных условий (2.2) перемещения и напряжения
имеют следующий вид:
Иу(? 1" $2' %з' г) = т
= / dtff °^зо(?1> ?2' ^2' ^3' Т' ^1' ^2' 0^*
о П (2.6)
alfiv ^3' =
Т
= / dt // °^з0(^1> ?2" ^2' ^3' Г; ^1' ^2'
о п
В формулах (2.5) и (2.6), как и ранее, по повторяющимся индексам
производится суммирование.
Если операторы, определяющие начально-краевую задачу, являются
дифференциальными с постоянными коэффициентами, то функции влияния
зависят от разности аргументов. В граничных условиях (2.3) и (2.4) можно
положить ?j = ?2 = 0 и
t = 0. Тоща интегральные соотношения (2.5) и (2.6) приобретают вид
сверток по переменным ?j, |2 и т. Например, из (2.5)
получим
и/?р ^2" ?з> т) = ^2' 1' ^2' $3' ~
г
= J dt JJ ?2" ^1 ' ^2 ^2' ^3' Т ~ ^
0 П (2.7)
°ij^v %г' h'т) = uko^v ^2' TK#i>^2' ^з*т) =
Т
= / / И*0^Г ?2' OT^ffi " ?!> ?2 ~ ^2' ^3' Т ~ 0
0 П
Для граничных условий (2.2) интегральные соотношения,
вытекающие из (2.6), имеют аналогичный вид с заменой на
акзо и см> г/м на фУнкции °1кУ тиъ-
Отметим, что в общем случае функции влияния являются обощенными
функциями. И интегралы в (2.5)-(2.7) должны пониматься в смысле
регуляризованных значений.
Для контактных задач, как следует из § 1.4, характерны
граничные условия смешанного характера. Пусть на части
граничной поверхности. Пц заданы смещения, а другая часть П^
свободна от напряжений:
и/|п = ий)(? 1"^2'т)" ав I и = П = Пи U Па. (2.8)
I ш I О
46
Тогда использование функций второго типа приводит к системе трех
интегральных уравнений относительно неизвестных напряжений на поверхности
Пц:
UjO^V ^2' Т) =
= / dtfS alc3(№V ^2' ^2' т; ^2'
О П
и
GjH^V ^2' Т' ^1* ^2> 0 = &],к3^1' ^2> ^3*' Т' ^1' ^2' О*
Для контактных задач при наличии свободного проскальзывания
используются следующие граничные условия смешанного характера (см. §
1.4):
"з п " "зо(? 1 ' h'т)' стзз I п ~ CTi3
I и I о
