Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
= (а/', т) + (л7. <р) = (<*/' + *'/. ?). что и требуется.
Переходим теперь к случаю нескольких независимых переменных. В этом случае мы можем определить для каждой обобщенной функции / ее частные производные по каждому из независимых переменных х1( х2, .... хп по формулам вида
(?• *)-(/¦ ~ш) </-••».....-)• <«>
Так же, как и выше, легко проверяется корректность этого определения: если функционал / регулярен и соответствующая функция/(х,, х2, хп) непрерывна и обладает непрерывной производной по переменному х,-, то интегрирование по частям, как и выше, приводит нас к выводу, что функционал есть функционал. типа функции
df (хъ хп) 3
dxj
Поскольку результат дифференцирования обобщенной функции есть днова обобщенная функция, мы можем продолжать дифференцирование и определить производные
¦д?щ- dxt К, дхк И Т- Д- Люб0Г0 П°РЯДКа'
3*
36 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [1
Таким образом, все обобщенные функции бесконечно дифференцируемы.
В частности, каждая локально интегрируемая функция имеет производные в обобщенном смысле всех порядков. (При этом, если функция / имеет обычную производную, то определяемый последней функционал не обязан совпадать с производной от / в смысле обобщенных функций.)
Во втором выпуске (гл. II, § 4) будет доказана обратная теорема: каждая обобщенная функция является производной некоторого порядка в обобщенном смысле от некоторой локально интегрируемой функции (и даже от непрерывной функции), или, может быть, конечной суммой таких производных.
Смешанные производные обобщенных функций не зависят от порядка дифференцирования: так, например,
ay _ ау
дххдх^ дх%дхх
Действительно,
\dxidxz' V \dx2' dxj V dx^dxj \J' дх^дх*)
_(df_ аср \ _ / ay \
Удхх' dxj \dxzdXi' V' Замечание. Можно определить производную обобщенной функции и как предел некоторого отношения — это ближе к обычному определению производной. Ограничимся для простоты случаем функций одного переменного.
Напомним, что для всякой обобщенной функции / можно построить ее сдвиг, например на величину Дх, по формуле (см. § 1, п. 6)
(/(х + Дх), ?(*)) = (/(*). ср(х —Дх)). (5)
Покажем теперь, что для всякой обобщенной функции существует предел (в смысле обобщенных функций) отношения
f{x + bx)—f(x) (6)
Ах ^
при Дх->0, и этот предел совпадает с определенной выше df
производной . Действительно, применяя (6) к основной функции ср(х) и используя формулу (5), находим:
2]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 37
<Р (X — — <Р (X) А ГЛ
Но отношение —--i-i-L имеет при Дх->0 своим
пределом основную функцию — ср' (х) в смысле сходимости, установленной в пространстве К. Так как функционал / непрерывен, то
^(* + A*)-/(*)t <p(x))_,aWl_?4*» = cr. ср),
где /' — определенная выше производная обобщенной функ-
, _ / (х 4- Дх) — / (х)
ции /. Таким образом, отношение ——¦—^— ' действительно имеет пределом в пространстве К' функционал f (х), что и утверждалось.
2. Примеры для случая функций одного независимого переменного. Выше мы видели, что функционал /' соответствует функции /' (х), если функции /(х) и /' (х) непрерывны. Нетрудно убедиться, что это верно и тогда, когда f(x) непрерывна, а /' (х) только кусочно непрерывна (и может отсутствовать в конечном числе точек). Действительно, в этом случае остается справедливым равенство (1) предыдущего пункта.
Еще более общим условием, при котором сохраняется равенство (1) п. 1, является абсолютная непрерывность f(x), которая, как известно, влечет существование /'(х) почти всюду, локальную интегрируемость ее и выполнение формулы интегрирования по частям, соответствующей равенству (1) п. 1.
Перейдем к рассмотрению примеров.
Пример 1. Рассмотрим функцию
[ О при х < О, к J { 1 при х > 0.
Отвечающий ей функционал будем также обозначать через 0 (х). Согласно общей формуле (2) из п. 1, функционал 8' (х) действует на основную функцию ср (х) так:
со
(0'(х), с? (х)) = (9 (х), — <р'(*))= — Jcp'(x)rfx = cp(0); • о
таким образом, в силу определения дельта-функции (§1, п. 3),
6' (х) = 3(х).
38 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
Аналогично, как легко проверить,
0' (л: — п) = Ъ(х— К).
Пример 2. Пусть теперь f(x)—кусочно непрерывная функция с кусочно непрерывной производной f (х), имеющая в точках хи хг, ... разрывы 1-го рода со скачками hx, h2, . . . (черт. 1). Производная f'(x) определена всюду, кроме
Черт. 1.
конечного числа точек. Найдем производную от ф у н к ц и о-нала /, соответствующего функции f(x). Введем функцию
л (*)=/(*)—2 МО*—**). (О
к
Очевидно, что она всюду непрерывна и имеет, исключая конечное число точек, производную, равную /' (х). Производная от регулярного функционала fu соответствующего функции fi(x), в силу сказанного в начале этого пункта, совпадает с регулярным функционалом, определяемым функцией f (х). Таким образом, дифференцируя равенство (1), мы находим:
