Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
(д.1, cp^ = lim fff ~dv = — 4тсср(0)=—4тг (8 (х), ср (x) ).
Отсюда
Л^ = — 4тг5(х). (1)
Аналогичное вычисление при любом числе измерений /г^Э>3 приводит к результату
4 1гт = —(л —2)Qn8(*).
гп-ч
где Qw — поверхность сферы радиуса 1 в я-мерном пространстве. При п. = 2
Д1п — = — 2«8(х).
•у
*) Здесь у = О (х) означает, что отношение ~ ограничено.
где а настолько велико, что вне шара г ^ а функция f(x) тождественно равна нулю:
4]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ Н ИНТЕГРИРОВАНИЙ 47
В дальнейшем (гл. III, § 3, п. 3) будут даны некоторые общие правила для дифференцирования функций в случае локально не интегрируемых производных. С помощью этих правил формулы, подобные формуле (1), можно будет получать автоматически, т. е. подсчетом Л— как суммы вторых 1
производных от — .
4. Дифференцирование как непрерывная операция.
Пусть дана последовательность обобщенных функций fu /2, .... /„..... сходящаяся к обобщенной функции /; мы
утверждаем, что последовательность производных ^~ схо-
дится к производной . Действительно, для любой основной функции ср(х) имеем:
(?•»)-('•¦ "?И'-
что и требуется.
Аналогично ряд обобщенных функций hl-\-hz-\-. . . .. .-4- hv -j- • . •, сходящийся к обобщенной функции g, допускает почленное дифференцирование; иными словами, имеет место равенство
fti + n?-r- ... -т-А'-г- ... —g.
В классическом анализе подобныетеоремы не имеют места: сходящуюся последовательность дифференцируемых функций, вообще говоря, нельзя почленно дифференцировать. Рассмотрим, например, последовательность функций /„ (х) =
1 .
= — sinvx на оси, равномерно сходящуюся к нулю; производные /' (х) = cos vx в классическом смысле ни к чему не сходятся, в частности, не сходятся к производной от предельной функции. Но в нашем смысле функционалы /'ч (х) сходятся, и именно к нулю; это, помимо общих соображений, получается и прямой выкладкой:
а а
(/[> ?) = j* cos4X.f(x)dx = ~ J sin vx tpr (x) dx -> 0,
48 ГЛ. t. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ (4
где [—а, а]—отрезок, вне которого функция ср(х) равна нулю. Более того, последовательности f" = — v sin vx, =— v2cosvx (v=l, 2, ...) и т. д. также сходятся к нулю в нашем смысле.
Пример 1. Разложение периодической функции в ряд Фурье. Пусть f(x)— периодическая (с периодом 2тс) локально интегрируемая функция и числа сп (коэффициенты Фурье) определены классическими формулами
Зге
^ J f(x) e-^dx.
Мы утверждаем, что ряд Фурье 2 cneinsc имеет своей
—со
суммой (в смысле обобщенных функций) функцию f(x). В самом деле, по хорошо известной теореме анализа *) формально проинтегрированный ряд
-1 оо
gltlx
in
-оо 1
равномерно сходится к абсолютно непрерывной функции F (х), производная которой почти всюду совпадает с f(x). Дифференцируя почленно равенство
-1 со
In
-со 1
находим /(х) = 2 cneinas, что и требовалось.
— со со
Пример 2. Любой ряд вида ^aneinx, коэффициенты
— со
которого возрастают при | п | —»¦ оо не быстрее некоторой степени п, является сходящимся в совокупности обобщенных функций, так как он получается почленным диф-
оо
ференцированием ряда einx, который заведомо рав-
(in)"
— со
номерно сходится при достаточно большом k.
*) А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, Гостехиздат, 1939, 2.621, стр. 33.
4] § 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 49
(1)
Раскрывая в первой из этих формул косинусы по формуле Эйлера, мы получаем также равенство
сс
\^reix-\re2iso-\-. . . -Are-ix-{-e-'2-ix+. . .=2тс 2 8 (х—2тсге). (2)
Применяя его к основной функции ср(лг) и используя тот факт, что
со '
(einx, ср(х))= J* ср(х) e~inas dx = i|>(—/г)**)
—со
есть значение в точке —п преобразования Фурье функции <р(д;), мы получаем равенство
со со
2'гЧл) = 2«2т,(2«л),
*) Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. III (Гостехиздат, 1949), п. 664, стр. 539. В дальнейших ссылках мы будем называть эту книгу кратко: «Г. М. Фихтенгольц, Курс».
**) Так как е*1*0 — комплексная функция, то она применяется к основной функции ср (х) по формуле (1) п. 9 § 1.
4 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1
Пример 3. Хорошо известно, что ряд sin х
, sin 2х , sin Зх . , ,, .
-j--^--j--g--\~ . .. сходится к функции f(x), равной
к ~х при 0 < х <С 2тг и продолженной с периодом 2тг на
всю ось, причем частичные суммы этого ряда равномерно ограничены *). Таким образом, ряд сходится и в смысле обобщенных функций (см. § 1, п. 8, а). Дифференцируя этот ряд, находим следующие суммы:
оо
cos х + cos 2х -f- ... + cos пх-{- ... =--2"T"7C28^Ji:— 2«n),
—со
со
sin х + 2 sin 2х + ... + « sin пх -f- ... = — it^8'!-1 — 2пп),
—со
со
cos jc + 4 cos 2х 4- • • • + «2 cos njf+ • • • = — 712 Б" — 2ял),
50 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [4
которое называется формулой суммирования Пуассона *). Оно доказано у нас для функций ср (х), принадлежащих к пространству К; но с помощью предельного перехода его можно перенести на более широкий класс функций, например на функции ср(х), абсолютно интегрируемые вместе со своей производной.
