Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
2 ?Х -Ъ'(х) (2)
тс (х^ 4-?2)2
и т. д. На черт. 3 представлены функции, стоящие слева в (2).
Пример 2. Рассмотрим функцию
f*M=rhe'b (t>0)-
Покажем, что при t —»¦ 0 эта функция стремится к 8-функции.
Заметим прежде всего, что ft (х) > 0; поэтому при любых а и Ъ
Ь со а
*) Г. М. Фихтенгольц, Курс, т. II (1948), п. 455, стр. 624—625,
при различных а и Ъ позволяет легко проверить, что при е—»-0 функции Д(л') образуют дельта-образную последовательность. Поэтому при е —> О
¦+ 8 (*). (1)
5J § 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 55
Сделав замену —=_у, мы видим, что при а < 0 < Ь
у t
ь , -У*
а
7г
lim / ft(х)dx = lim—/ в *dy=l.
a
Далее, для любого b"> О
—7= е 4t dx< —т= / е и -frr- -г- dx = г- е «_».о ' ь ь
при ? —> 0, так что интегралы по любому промежутку
00 «в-
Черт. 3.
(&, оо), 6 > 0, стремятся к нулю. Аналогичный факт имеет место для промежутков (— со, с), а <^ 0. Таким образом,
56 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
(3)
2 У
Пример 3. Рассмотрим функцию
, , . 1 sin vx Л (•*) — — —— (0<v<co)
(черт. 4). Покажем, что при v—> со эта функция стремится к 5-функции.
Известно, что
Далее, для любых b > с > О 6 &
ffAx)dx = ±fS^dx = ±f^dy-*0 при
v -> оо;
такая же картина, очевидно, имеет место для интеграла от а до b при а < 6 < 0. Наконец, величина
Я'
&V
sin чх
dx
if*?"
*) Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц, Курс, т. II (1948), п. 455, 625—627.
ft(x) есть дельта-образная последовательность, и, значит,
5] § 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 57
ограничена равномерно по а и b для всех v. Отсюда следует, что при v —>¦ оо функции /v(x) образуют дельта-образную последовательность, так что
1 sin чх s . N ...
hm ~V = S (*)¦ (4)
- 1 sin vjc ,
Функция ———— в свою очередь может быть представлена как результат интегрирования функции eiix по
параметру ? в пределах от —v до v. Поэтому наш результат может быть сформулирован еще и так: имеет место предельное соотношение в смысле сходимости в пространстве К':
lim f = 2« 8 (х). (5)
v -> со J
— V
Слева стоит преобразование Фурье единицы. (Подробнее и с другой точки зрения о преобразовании Фурье мы будем говорить в гл. И. Ср. замечание в конце § 3 гл. II.)
Дифференцируя по х полученное соотношение, мы приходим к новым, еще более интересным равенствам:
lim
ч -> со
f Не1** <& = 2tz ? (х), (6)
lim Г (ft)2 е^ eft = 2rc 8" (л;) (7)
N -> CO « — V
и т. д. Можно утверждать вообще, что для любой локально интегрируемой функции f(x), растущей при >¦ оо
не быстрее некоторой степени \х\, существует в смысле обобщенных функций преобразование Фурье — предел выражения
V
ff&e**0 dl
при v —>- со. Действительно, запишем функцию /(?) в форме (?2-\- 1)да/о(^). гДе /о (?)—интегрируемая функция. Так как
58 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [6
функция /0(?) обладает обычным преобразованием Фурье, то существует предел
lim Г/0(5)в*ьЛ = О0(х).
При этом сходимость равномерна по х в любой конечной области; следовательно, сходимость имеет место в смысле обобщенных функций. Применяя к обеим частям равенства
операцию I — -4- 11 и используя непрерывность операции дифференцирования, заключаем, что существует предел
lim
v -> со
— V
//(?) е*Ь> «Я = (— ^+ I)" О0 (х),
что и утверждалось.
6. Дифференциальные уравнения с обобщенными функциями. Операции, которые установлены для обобщенных функций—дифференцирование, умножение на функцию, сложение — позволяют строить дифференциальные выражения вида
а0 (х) У») (х) + ах (х) У»-Ч (х) + '• - • 4- «» (*) У (х) ~~ Ъ (*).
где а0(х), ах(х)..... ап(х) — заданные бесконечно дифференцируемые функции, а у(х) и Ь(х) — обобщенные функции. Приравнивая такое выражение нулю, мы получаем обыкновенное линейное дифференциальное уравнение п-го порядка относительно обобщенной функции у(х). Возникает вопрос о том, как описывается совокупность всех решений такого уравнения.
Рассмотрим сначала простейшее уравнение
-&=<>¦ <»
Покажем, что это уравнение в классе обобщенных функций имеет своим общим решением у = С( — const). Уравнение (1) эквивалентно уравнению
С'. ?)=(>. = Q (2)
6] § 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 59
с другой стороны, при выполнении условия (3) мы полагаем
х
?iW = f То (5)
—со
и остается только проверить, что cpt (л:) есть основная функция; но это очевидно, поскольку <рх (х) вместе с ср0 (х) бесконечно дифференцируема и, в силу условия (3), финитна.
Пусть теперь ept (х) — фиксированная основная функция, обладающая свойством
со
J* cpt (х) dx = 1.
—со
Для любой основной функции ср (х) можно написать равенство
со
ср (х) = cpt (х) J* ср (х) dx -4- ср0 (х),
—со
где функция ср0(х), очевидно, удовлетворяет условию (3).
для любой основной функции ср(х). Но тем самым функционал у уже задан на совокупности Ф0 тех основных функций, которые могут быть представлены как производные от других основных функций. Нам необходимо выяснить, какими способами функционал у может быть распространен с совокупности Ф0 на всё основное пространство AT.
