Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
функциям, зависящим только от г = х% а также
8-функция. Функцию, инвариантную относительно сдвига на вектор ft, будем называть периодической с периодом п. Можно показать, что обобщенная функция, инвариантная относительно всех сдвигов, есть постоянная (см. § 2, п. 6). Обобщенная функция /(х), удовлетворяющая уравнению
f(ax) = <*f(x) (4)
при любом вещественном а > 0, называется, естественно, однородной функцией степени X. Условие (4) может быть записано также в виде
а—(/(*), ? (4) ) = «Х (/(*)• ?.(*)).
или, что то же,
{fix), т(^))=.ах+п(/(х). <р (*))¦•
24 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [7
Так, о (хх.....хп) есть однородная функция степени
—п. Кроме того, разумеется, обычные однородные функции (локально интегрируемые) являются однородными и как обобщенные функции с той же степенью. Подробнее об однородных обобщенных функциях мы будем говорить далее в § 4 и затем в гл. III.
7. Проблема регуляризации расходящихся интегралов.
Пусть f(x) — функция, локально интегрируемая всюду, кроме точки лг0, а в этой точке имеющая неинтегрируемую особенность ^например, /(л:) = -^-на оси^. Тогда интеграл
ff(x)9(x)dx, (1)
где ср(х)— основная функция, вообще говоря, расходится. Но он сходится, если ср (х) равна нулю в окрестности точки х0. Поставим вопрос, нельзя ли доопределить возникающий при этом функционал, т. е. построить функционал К', который на основные функции ср(лг), равные нулю в окрестности точки х0, действует по формуле (1). Всякий такой функционал / называется регуляризацией расходящегося интеграла (1) (илирегуляризацией функции f (х)).
Так, для f(x)—-^ можно положить
— а Ь +со
СД<р) = < / / *<*>-* <°>rfjc+ / flfdx (2)
—со —а Ь
с любыми а, Ь >¦ 0.
Определение регуляризации можно дать и в несколько иной форме: регуляризация функции f(x) есть линейный непрерывный функционал /, который совпадает с функцией f(x) всюду вне точки х0 (см. п. 4).
Действительно, если имеется функционал /, который для всех основных функций у (х), равных нулю в окрестности точки х0, задается интегралом (1), то / совпадает с функцией f(x) в некоторой окрестности любой точки хх Ф х0, а именно в окрестности, не содержащей х0 ни внутри, ни на границе. С другой стороны, если функционал / совпадает с функцией f(x) всюду вне точки х0, то для любой основной функции, равной нулю в окрестности точки х0, имеет место формула (1) и, следовательно, / определяет регуляризацию функции f{x).
7]
§ 1. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
25
Приведем некоторые общие соображения, касающиеся разрешимости проблемы регуляризации. Для простоты будем считать, что дг0 —0.
1°. Если при некотором т > 0 функция f(x) ¦ гт локально интегрируема, то интеграл (1) допускает регуляризацию.
Действительно, в этом случае мы можем построить регуляризацию / по формуле
(/.?) = //(*){?(*) —
-[^°>+^Г^+ ••• 4--о~х^~^\ЧХ~Г)\ (3)
(из функции ср (х) вычитается столько членов ее ряда Тейлора, чтобы остаток имел порядок выше гт). Функция 0(1—г) равна единице при r< 1 и равна нулю при г > 1.
Очевидно, что интеграл (3) сходится при любой основной функции ср (х) и представляет собой линейный непрерывный функционал. Если функция ср(л) равна нулю в окрестности начала координат, то выражение (3) превращается в
(/. ?) = ff(x)f(x)dx,
так что функционал / вне начала координат совпадает с функцией f(x).
Таким образом, в рассматриваемом случае проблема регуляризации имеет решение.
2°. Если fо — частное решение проблемы регуляризации интеграла (1), то общее решение f получается прибавлением к /0 любого функционала, сосредоточенного в точке лг0 = 0.
Действительно, пусть /0 — регуляризация, a g— функционал, сосредоточенный в этой точке. Тогда для основных функций ср(х), равных нулю в окрестности точ;си х0 — 0,
(/о -h g- <Р) = (/о. <р) + (g. 9) = (/о. <Р).
так что и f0-\-g является регуляризацией. Обратно, если /0 и Д — две различные регуляризации, то для таких же ср (х)
(Л — /о. «р) = (Л, <Р) — (/о. 9) = 0. т. е. разность fх — /0 сосредоточена в точке х0 — 0,
26 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [7
Например, в случае /(дг) = — разность двух любых
регуляризации, определяемых формулой (2), как легко вывести из самой этой формулы, есть просто СЬ(х), где С — постоянный множитель.
Вопросом о выборе среди многочисленных регуляризации данной функции естественной ее регуляризации мы займемся позднее, в § 3.
3°. Если в некотором телесном угле с вершиной в начале координат функция f(x) допускает оценку
f(x)>F(r). (4)
где F(г) возрастает при г-*-0 быстрее любой степени —, то
интеграл (1) не допускает регуляризации.
Для простоты будем считать, что телесный угол, о котором идет речь, содержит область Н = (хх > 0, ..., хп > 0). В общем случае доказательство проводится аналогично. Рассмотрим основную функцию <f (х), неотрицательную, обращающуюся в нуль при | х | >• 1 и обладающую интегралом, равным 1. Пусть, далее, е„^>0—произвольная последовательность чисел, стремящихся к 0 быстрее
