Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
/;=/'—2м(*—**>.
к
откуда
/'=Я-т-2м(*—**).
к
Итак, если f(x) — кусочно непрерывная функция с кусочно непрерывной производной, то при дифференцирова- > нии каждая точка разрыва 1-го рода хк функции f (х) со * скачком hk добавляет в .выражение производной слагаемое hkb(x — xk).
2] § 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 39
х I О
Х+==\хх
Своеобразное положение возникает, когда дифференцированию подлежит обычная функция f (х), производная которой f'(x) существует в обычном смысле, за исключением, возможно, отдельных точек, но не является локально интегрируемой функцией (например, f(x) —}/~~ или/(х) = = In | х |). Здесь обобщенная функция /' формально должна быть задана интегралом
со
(/'. ?)= /f'(x)<?(x)dx. (2)
—со
Но этот интеграл, вообще говоря, расходится и тем самым не определяет функционала.
В п. 4 добавления 1 будет показано, что искомый функционал /' должен совпадать с функцией f (х) во всех точках, где /'(х) локально интегрируема. Таким образом, искомый функционал /' представляет собой одну из возможных регуляризации (см. § 1, п. 7) интеграла (2), а именно регуляризацию, определяемую формулой
со со
ff О)? (х) dx = (/', <р) = — (/, «рО = — ff(x)9'(x)dx. (3)
— со —со
В п. 7 § 1 мы видели, что регуляризация / функции / (х) с не-интегрируемыми особенностями в отдельных точках определена (если она существует) лишь с точностью до прибавления произвольного функционала, сосредоточенного в этих точках. Формула же (3) определяет одну конкретную регуляризацию. Можно показать, что именно эта регуляризация является в известном смысле естественной. Ср. § 3, nn. 1 и 7.
Желательно упростить формулу (3) так, чтобы в окончательном результате фигурировала сама функция <?(х), а не ее производная. Такое упрощение часто удается проделать, используя конкретный вид функции f(x) и соответственно преобразуя правую часть равенства (3).
Пример 3. Найдем производную от обобщенной функции
при х <Г О,
г при х ^ О,
Эта функция локально интегрируема, но ее производная в обычном смысле Хх1~1 не является локально интегрируемой,
40 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
и мы приходим к задаче о регуляризации расходящегося интеграла
со
J Xxx~ic?(x)dx. (4)
о
Согласно общему правилу дифференцирования обобщенной функции,
со оо
( 0+)', ср) = — (х\, <р')=— Г хх ср' (х) dx=—\im С хх <?'(x)dx.
У е ¦> О J
«
Интегрируем по частям, полагая ср' (х) dx = du, xx = v, u — tf(x)-\-C; мы получим:
((хХ+)', ср) = —lim
е -> О
хх(ср(х) _|_ С) |Г_ fte*-11? (хН-С] dx
Первое слагаемое под знаком предела само имеет предел при е —> О, и притом равный нулю, если С положить равным —ср (0). Будем считать, что С выбрано именно так; тогда мы имеем:
со
( (х\у, ср) = lim Г Хх*-1 [ср (х) — ? (0)] dx =
со
= /[?(¦*)—? (0)1 dx, (5)
о
что и представляет собой искомое правило для придания смысла расходящемуся интегралу (4). Это правило, как мы видим, в данном случае состоит в том, что функция ср(х) под знаком интеграла (4) заменяется на ср(х)— ср (0), что обеспечивает сходимость интеграла при х = 0 (и не нарушает его сходимости на бесконечности). Определяемую равенством (5) обобщенную функцию естественно обозначить через Хх+-1: таким образом,
(х_)_) = Хх+ .
Функционал XxV-1 уже не является регулярным. Но все же при х Ф 0 он совпадает с регулярным функционалом: из
2]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 41
формулы (5) ясно, что на основные функции ср (х), отличные от нуля только при х ф 0, он действует как обычная функ-ция лл:+ .
П р и м ер 4. Несколько сложнее подсчитывается производная от обобщенной функции
( 0 при х < О,
In х+ —{ , ^ .
[ In х при х > 0.
Здесь формальное дифференцирование
а\пх+у, = /
(6)
приводит снова к расходящемуся интегралу. Этот расходящийся интеграл уже не регуляризуется заменой ср (х) на ср (х) — ср (0), так как полученный после этой замены интеграл становится расходящимся на бесконечности;
Действуя по схеме предыдущего примера, мы получаем:
со
((\пх+у, ср) = — (1пл:+, ср') = — У In хср' (дг) dx =
lim
е ->-0
=—lim / In х ср' (х) dx =
8 -> О J Е
[СО — cp(e)lne— J ^pdx
Выражение —cp(e)lne можно заменить более простым выражением — ср(0)1пе, поскольку разность между ними [ср (е) — ср (0) ] In е имеет пределом нуль. Далее, можно написать:
1 со
-?(0)^e = f^dx = f *<0>'О-*> dx, где, как и выше,
Ь(Х):
f 0 при х < 0, { 1 при х > 0.
42 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
Как известно, полученный предел называется главным значением но Коши интеграла от . ; мы сохраним для
В результате мы получаем:
оо
v л .• А> (-*) — <Р (0) 9 (1 — х) , ( (In х+ ) , ср) = hm /-l±J.—i-ifix =
s -> О J X
s
CO
0
что и представляет собой искомое правило придания смысла расходящемуся интегралу (6). Мы видим, что оно обеспечивает сходимость интеграла при х = 0 и не нарушает его сходимости на бесконечности.
