Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гельфанд И.М. -> "Обобщенные функции" -> 17

Обобщенные функции - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции: Учебное пособие — М.: Гос. издат. физ-мат. литературы, 1959. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): math0206.djvu
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 125 >> Следующая


Аналогично известное равенство **)

. cos 2х . cos Зх , cosx-j--^--j--о--г • • • = — »п

о • х

2 sin у

(3)

позволяет вычислить путем дифференцирования новые тригонометрические суммы. Дифференцируя формально, находим:

1 х

sin х -\- sin 2х -f- sin Зх -j- ... = у ctg у,

cos x-f-2 cos 2x 3 cos 3x-(-. • - — \ (ciS -ff) =—\ —

1 / X \" 1

sinx-(-4sin2x-r-9sin3x-{-. . . = ylctg-yj

sin2Y x

COSy

4 . , x ' s.n*-

(4)

Однако уже функция ctg--^- не является локально интегрируемой и интеграл

ctg" 4 ? (*)^

вообще говоря, расходится. В п. 7 § 3 будут построены обобщенные функции, отвечающие обычным функциям, стоящим справа в (4). При этом обобщенная функция, отвечающая обычной функции--^-—-—, будет производной

1 х г

обобщенной функции ~2~с^=~2~ и т" д" ДРУГИМИ словами, равенствам (4) будет придан смысл с точки зрения теории обобщенных функций.

*) См., например, Е. Титчмарш, Введение в теорию интегралов Фурье (Гостехиздат, 1948), стр. 82.

**) Г. М. Фихтенгольц, Курс, т. III (1949), п. 664, стр. 550.

4] § 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 51

п п-

(3-1

где и Pi — постоянные, а {уи} и {Ьп}—ограниченные последовательности чисел *).

Пример 4. Рассмотрим функционал /, определяемый функцией

. __ , л: I —4— Ы при х < О,

( In I Л { In д:

при x > 0.

Как видно из определения, это предельные значения аналитической в верхней полуплоскости функции ln(jc-f-iy) при у —> 0. Проверим, что

In (х-j~ Ю) = lim In (л: -f- i_y)

в смысле сходимости обобщенных функций. Действительно, при фиксированном у >¦ 0

In (х 4- iy) = у In (х2 -j-^2) -f - i arctg ^;

при у-+0 эта функция стремится к In (д: —|— г'О), причем:

а) первое слагаемое In (хг-\-уг), монотонно убывая, стремится к In | х \ ;

б) второе слагаемое /arctg-^-, оставаясь по модулю ограниченным (числом w), стремится к функции

[ ire при х < О, h{x)={ F

I 0 при х > 0.

*) Ср. В. И..С м ирн о в, Курс высшей математики, т. II (Гостехиздат, 1957), п. 158, стр. 461. В дальнейшем будем писать: «В. И. С м и р-нов, Курс».

4*

Формулы (1) и (4) позволяют выделять особенности у суммы тригонометрического ряда ^(ancosnx -{-bnsin пх), коэффициенты которого устроены, например, следующим образом:

52 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5

ограничены постоянной, не зависящей от а, Ь, v (зависящей только от М);

Поэтому сходимость In (x-\-iy) —> In (х-\~ Ю) в смысле обобщенных функций имеет место в силу условий, отмеченных в п. 8 § 1.

Производная от 1п|х|, как мы знаем, есть (п. 2,

пример 5); производная от функции h(x) равна — iizb(x) (там же, пример 2). Таким образом, заново получается результат примера б п. 2:

jL\n(x + lQ) = ±. — Kb(x).

С другой стороны, в силу непрерывности операции дифференцирования,

In (х 4- 10) = lim A-in(x-f-/y)= цт ]_ . ax y->+o ax y->+o x ~г 1У .

Мы получаем интересную формулу:

ylnlo-d^-=^-iuHx)- (5)

которая имеет следующий смысл: для любой основной функции <р(-*0

со со

" —со —со

где интеграл справа нужно понимать в смысле главного значения по Коши (см. п. 2, пример 5).

б. Дельта-образные последовательности. Можно многими способами строить последовательности регулярных функционалов, сходящиеся к 8-функции. Для этого нужно только, чтобы соответствующие функции /„ (х), как говорят, имели «дельта-образный вид».

Точно это выражается следующими условиями: а) каково бы ни было М > О, при | а \ ^ М, \Ь\<^М величины

ь

§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 53

б) при любых фиксированных а и Ь, отличных от нуля, ь

при а < ? < О и 0 < а < при а < 0 < Ь.

ь

Hm f/,(5) Л =Г

ч -> со J I 1

а V

Пусть /v(x)— такая дельта-образная последовательность. Рассмотрим последовательность первообразных функций

Как легко получается из определения дельта-образной последовательности, с возрастанием v функция Fv (х) имеет пределом постоянную, равную нулю при х •< 0, и постоянную, равную единице при х > 0, и в то же время равномерно (по v) ограничена в каждом промежутке. Отсюда следует, что

У.



f
1
1
1
1
1
1
1
\ \ \ \
\е=аг


1 1
1
\ \
^ \


____ ^
^^Г--—


О


Черт. 2.

функции /\,(х) в смысле обобщенных функций имеют пределом функцию 9 (х), равную 0 при х <. 0 и 1 при х > 0. А тогда функции /v(x) = F'4(x) имеют в смысле обобщенных функций пределом функцию 6' (х) = 8 (х), что и требуется. Пример 1. Рассмотрим функцию

/Лх)=^^^(е>0).

График ее показан на черт. 2. Равенство ь *

f Л (*) dx="\ [arct^T —arctg-^-]

54 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5

тс х* -I- г"

Тот же результат получается, если вспомнить, что

1 ? 1.1

Im

тс JC2 + с2 я Jf 4- /е '

тогда, в силу формулы (5) предыдущего пункта, --~~п—i—» =---Im-г—,--у о (л:),

как и выше.

Дифференцируя по х дельта-образную последовательность, будем получать последовательности, сходящиеся к производным от дельта-функции. Например, из соотношения (1) следует предельное соотношение
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed