Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогично известное равенство **)
. cos 2х . cos Зх , cosx-j--^--j--о--г • • • = — »п
о • х
2 sin у
(3)
позволяет вычислить путем дифференцирования новые тригонометрические суммы. Дифференцируя формально, находим:
1 х
sin х -\- sin 2х -f- sin Зх -j- ... = у ctg у,
cos x-f-2 cos 2x 3 cos 3x-(-. • - — \ (ciS -ff) =—\ —
1 / X \" 1
sinx-(-4sin2x-r-9sin3x-{-. . . = ylctg-yj
sin2Y x
COSy
4 . , x ' s.n*-
(4)
Однако уже функция ctg--^- не является локально интегрируемой и интеграл
ctg" 4 ? (*)^
вообще говоря, расходится. В п. 7 § 3 будут построены обобщенные функции, отвечающие обычным функциям, стоящим справа в (4). При этом обобщенная функция, отвечающая обычной функции--^-—-—, будет производной
1 х г
обобщенной функции ~2~с^=~2~ и т" д" ДРУГИМИ словами, равенствам (4) будет придан смысл с точки зрения теории обобщенных функций.
*) См., например, Е. Титчмарш, Введение в теорию интегралов Фурье (Гостехиздат, 1948), стр. 82.
**) Г. М. Фихтенгольц, Курс, т. III (1949), п. 664, стр. 550.
4] § 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 51
п п-
(3-1
где и Pi — постоянные, а {уи} и {Ьп}—ограниченные последовательности чисел *).
Пример 4. Рассмотрим функционал /, определяемый функцией
. __ , л: I —4— Ы при х < О,
( In I Л { In д:
при x > 0.
Как видно из определения, это предельные значения аналитической в верхней полуплоскости функции ln(jc-f-iy) при у —> 0. Проверим, что
In (х-j~ Ю) = lim In (л: -f- i_y)
в смысле сходимости обобщенных функций. Действительно, при фиксированном у >¦ 0
In (х 4- iy) = у In (х2 -j-^2) -f - i arctg ^;
при у-+0 эта функция стремится к In (д: —|— г'О), причем:
а) первое слагаемое In (хг-\-уг), монотонно убывая, стремится к In | х \ ;
б) второе слагаемое /arctg-^-, оставаясь по модулю ограниченным (числом w), стремится к функции
[ ire при х < О, h{x)={ F
I 0 при х > 0.
*) Ср. В. И..С м ирн о в, Курс высшей математики, т. II (Гостехиздат, 1957), п. 158, стр. 461. В дальнейшем будем писать: «В. И. С м и р-нов, Курс».
4*
Формулы (1) и (4) позволяют выделять особенности у суммы тригонометрического ряда ^(ancosnx -{-bnsin пх), коэффициенты которого устроены, например, следующим образом:
52 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
ограничены постоянной, не зависящей от а, Ь, v (зависящей только от М);
Поэтому сходимость In (x-\-iy) —> In (х-\~ Ю) в смысле обобщенных функций имеет место в силу условий, отмеченных в п. 8 § 1.
Производная от 1п|х|, как мы знаем, есть (п. 2,
пример 5); производная от функции h(x) равна — iizb(x) (там же, пример 2). Таким образом, заново получается результат примера б п. 2:
jL\n(x + lQ) = ±. — Kb(x).
С другой стороны, в силу непрерывности операции дифференцирования,
In (х 4- 10) = lim A-in(x-f-/y)= цт ]_ . ax y->+o ax y->+o x ~г 1У .
Мы получаем интересную формулу:
ylnlo-d^-=^-iuHx)- (5)
которая имеет следующий смысл: для любой основной функции <р(-*0
со со
" —со —со
где интеграл справа нужно понимать в смысле главного значения по Коши (см. п. 2, пример 5).
б. Дельта-образные последовательности. Можно многими способами строить последовательности регулярных функционалов, сходящиеся к 8-функции. Для этого нужно только, чтобы соответствующие функции /„ (х), как говорят, имели «дельта-образный вид».
Точно это выражается следующими условиями: а) каково бы ни было М > О, при | а \ ^ М, \Ь\<^М величины
ь
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 53
б) при любых фиксированных а и Ь, отличных от нуля, ь
при а < ? < О и 0 < а < при а < 0 < Ь.
ь
Hm f/,(5) Л =Г
ч -> со J I 1
а V
Пусть /v(x)— такая дельта-образная последовательность. Рассмотрим последовательность первообразных функций
Как легко получается из определения дельта-образной последовательности, с возрастанием v функция Fv (х) имеет пределом постоянную, равную нулю при х •< 0, и постоянную, равную единице при х > 0, и в то же время равномерно (по v) ограничена в каждом промежутке. Отсюда следует, что
У.
f
1
1
1
1
1
1
1
\ \ \ \
\е=аг
1 1
1
\ \
^ \
____ ^
^^Г--—
О
Черт. 2.
функции /\,(х) в смысле обобщенных функций имеют пределом функцию 9 (х), равную 0 при х <. 0 и 1 при х > 0. А тогда функции /v(x) = F'4(x) имеют в смысле обобщенных функций пределом функцию 6' (х) = 8 (х), что и требуется. Пример 1. Рассмотрим функцию
/Лх)=^^^(е>0).
График ее показан на черт. 2. Равенство ь *
f Л (*) dx="\ [arct^T —arctg-^-]
54 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
тс х* -I- г"
Тот же результат получается, если вспомнить, что
1 ? 1.1
Im
тс JC2 + с2 я Jf 4- /е '
тогда, в силу формулы (5) предыдущего пункта, --~~п—i—» =---Im-г—,--у о (л:),
как и выше.
Дифференцируя по х дельта-образную последовательность, будем получать последовательности, сходящиеся к производным от дельта-функции. Например, из соотношения (1) следует предельное соотношение